Система нелинейных уравнений

[EXE]

Пример показался интересным. Найти все вещественные решения системы в пределах определённой области:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x - x\cdot \sin(x + 5\cdoty) - y\cdot \cos(5\cdot x - y)=0 \\ y - y\cdot \sin(5\cdot x - 3\cdot y)+x\cdot \cos(3\cdot x+5\cdot y)=0 \\ \end{array} \right.$$

Это пример из работы, посвящённой обзору методов решения систем нелинейных уравнений.
Ссылка на файл pdf

[mihiv]

Рассмотрим вспомогательную систему линейных уравнений относительно неизвестных $p,q$ с коэффициентами, зависящими от параметров $x,y:$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} p - p\cdot \sin(x + 5\cdoty) - q\cdot \cos(5\cdot x - y)=0 \\ q - q\cdot \sin(5\cdot x - 3\cdot y)+p\cdot \cos(3\cdot x+5\cdot y)=0 \\ \end{array} \right.\eqno (1)$$

Определитель этой системы равен:

$$\det=(1-\sin (x+5))(1-\sin (5x-3y))+\cos (3x+5y)\cos (5x-y)\eqno (2)$$

Определим область $S$ изменения параметров $x,y$ неравенствами:

$$-\frac {\pi }2+2\pi<x+5<\frac {\pi }2+2\pi$$

$$-\frac {\pi }2<5x-3y<\frac {\pi }2$$

$$-\frac {\pi }2<3x+5y<\frac {\pi }2$$

$$-\frac {\pi }2<5x-y<\frac {\pi }2$$

В области $S$ определитель системы $(1)>0$, следовательно, система $(1)$ имеет лишь нулевое решение, поэтому исходная система нелинейных уравнений имеет в $S$ единственное решение $x=0,y=0$.

[Rak so dna]

mihiv у ТС опечатка в условии (пробел после \cdot не поставил). Должно быть

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x - x\sin(x + 5y) - y\cos(5x - y)=0 \\ y - y\sin(5x - 3y)+x\cos(3x+5y)=0 \end{array} \right$$

Сомневаюсь, что это как-то аналитически решается.

[mihiv]

Rak so dna в сообщении #1670606 писал(а):

у ТС опечатка в условии

Rak so dna, спасибо.
После исправления условия система $(1)$ имеет вид:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} p - p\cdot \sin(x + 5\cdot y) - q\cdot \cos(5\cdot x - y)=0 \\ q - q\cdot \sin(5\cdot x - 3\cdot y)+p\cdot \cos(3\cdot x+5\cdot y)=0 \\ \end{array} \right.\eqno (1)$$

Определитель системы равен:

$$\det=(1-\sin (x+5y))(1-\sin (5x-3y))+\cos (3x+5y)\cos (5x-y)\eqno (2)$$

Рассмотрим вспомогательную систему линейных уравнений относительно неизвестных $p,q$ с коэффициентами, зависящими от параметров $x,y:$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} p - p\cdot \sin(x + 5\cdot y) - q\cdot \cos(5\cdot x - y)=0 \\ q - q\cdot \sin(5\cdot x - 3\cdot y)+p\cdot \cos(3\cdot x+5\cdot y)=0 \\ \end{array} \right.\eqno (1)$$

Определитель этой системы равен:

$$\det=(1-\sin (x+5y))(1-\sin (5x-3y))+\cos (3x+5y)\cos (5x-y)\eqno (2)$$

Область $S$ изменения параметров $x,y$ зададим неравенствами:

$$-\frac {\pi }2+<x+5y<\frac {\pi }2$$

$$-\frac {\pi }2<5x-3y<\frac {\pi }2$$

$$-\frac {\pi }2<3x+5y<\frac {\pi }2$$

$$-\frac {\pi }2<5x-y<\frac {\pi }2$$

В области $S$ определитель системы $(1)>0$, следовательно, система $(1)$ имеет лишь нулевое решение, а поэтому исходная система нелинейных уравнений имеет в $S$ единственное решение $x=0,y=0$

Rak so dna в сообщении #1670606 писал(а):

Сомневаюсь, что это как-то аналитически решается.

В условии требуется найти все решения в некоторой неопределенной области, так что какое-то решение получено.

[EXE]

Rak so dna в сообщении #1670606 писал(а):

Должно быть

Да, фраернулся я, спасибо. А ведь несколько раз проверял...

Rak so dna в сообщении #1670606 писал(а):

Сомневаюсь, что это как-то аналитически решается.

Конечно, об аналитике речи нет, тут и численно требуется немало усилий приложить...

mihiv в сообщении #1670654 писал(а):

система $(1)$ имеет лишь нулевое решение

Даже в ошибочном варианте она имеет решений бесконечное множество. А что касается исходного варианта, то в статье приведён график.

[EXE]

Предложение. На графиках обеих линий уровня прослеживается такая закономерность: линию можно пересечь параллельными прямыми с постоянным шагом между ними так, что все части линии пересекутся с этими прямыми. Например, график первого уравнения и прямые:
Ссылка на картинку
график второго уравнения и прямые:
Ссылка на картинку
В любой области с помощью прямых находится очередной участок линии одного из уравнений, а с помощью этого участка, если он пересекается с линией другого уравнения (или проходит через решение, как в начале координат), находим решение системы. Участок или пересекается, или нет, если нет, то он или замкнутый, или упирается в границу области. Если да, то находим все пересечения: участок или замкнутый, или упирается в границу области. В конце процесса отфильтровать повторяющиеся решения.

[vicvolf]

EXE в сообщении #1670662 писал(а):

Конечно, об аналитике речи нет, тут и численно требуется немало усилий приложить...

А в чем здесь олимпиадность?

[EXE]

vicvolf в сообщении #1671386 писал(а):

А в чем здесь олимпиадность?

А в чём её здесь нет, или, например, чем она не отвечает определению из Вики?

Тогда, пожалуйста, обоснуйте и предложите другой раздел или попросите администрацию заняться этим вопросом.

[nnosipov]

EXE в сообщении #1671469 писал(а):

А в чём её здесь нет

У Вас даже сама задача не сформулирована: нужно решить систему в "определенной области", но в какой именно, не говорится.

[EXE]

nnosipov в сообщении #1671507 писал(а):

У Вас даже сама задача не сформулирована

А это не моя задача. Я же, как смог, перевёл текст публикации.

nnosipov в сообщении #1671507 писал(а):

нужно решить систему в "определенной области", но в какой именно, не говорится

Думаю, не сильно ошибусь, если скажу, что там имелась в виду любая ограниченная область.
Что-то изменилось?

[drzewo]

EXE в сообщении #1671531 писал(а):

А это не моя задача

Ошибаетесь. Вы отвечаете за свои посты. А публикация, которую Вы сюда притащили, сомнительного качества. Что видно уже вот из этого неадекватного заявления:

Цитата:

This paper presents a comprehensive survey of methods which can be utilized to search for solutions to
systems of nonlinear equations (SNEs).

Едем дальше:

EXE в сообщении #1670189 писал(а):

Найти все вещественные решения системы в пределах определённой области:

EXE в сообщении #1670662 писал(а):

Конечно, об аналитике речи нет, тут и численно требуется немало усилий приложить

Это что за безобразие?

-- 25.01.2025, 14:31 --

EXE в сообщении #1671531 писал(а):

Думаю, не сильно ошибусь, если скажу,

Т.е. Вы просто не знаете как ставить задачу корректно. Ну и что весь этот трэш делает в олимпиадном разделе, собсна?

[EXE]

drzewo в сообщении #1671533 писал(а):

Это что за безобразие?

Получается, люди представили очень хороший пример, но это не те люди, тем более они не из того места, а ещё один, скорее всего, и вовсе законченный негодяй, занёс его не в тот отдел, и поэтому пример никуда не годится.
Мне кажется, что безобразие, это когда человек не в состоянии решить уравнение, но при этом очень громко обвиняет всех, начиная от издательства и до самой задачи.

[drzewo]

У меня предложение к модератору рассмотреть вопрос о сносе этой темы. По крайней мере, очевидно, что в олимпиадном разделе ей не место.

[nnosipov]

Да, согласен, попросим модератора переместить этот топик в ПР/Р. Вопрос мог бы быть таким: можно ли этот сюжет довести до корректно поставленной олимпиадной задачи? В частности, для какой именно олимпиады предназначается эта задача?

-- Сб янв 25, 2025 17:55:52 --

EXE в сообщении #1671534 писал(а):

Получается, люди представили очень хороший пример

Хороший пример чего?

[Ende]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Математика (общие вопросы)»
Причина переноса: пожалуй, наиболее подходящий раздел для доведения задачи до корректно поставленной.

EXE
Правильно оформляйте длинные URL (см. как я сделал выше). Иначе ломается верстка, и тему становится невозможно просматривать с мобильных устройств.