Система нелинейных уравнений

[EXE]

Пример показался интересным. Найти все вещественные решения системы в пределах определённой области:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x - x\cdot \sin(x + 5\cdoty) - y\cdot \cos(5\cdot x - y)=0 \\ y - y\cdot \sin(5\cdot x - 3\cdot y)+x\cdot \cos(3\cdot x+5\cdot y)=0 \\ \end{array} \right.$$

Это пример из работы, посвящённой обзору методов решения систем нелинейных уравнений.
https://vk.com/s/v1/doc/h7QDPlSrx1ntsTZzHTfDNx14cE1NsDmwwKoPvG5bRuo1kNXhLwQ

[mihiv]

Рассмотрим вспомогательную систему линейных уравнений относительно неизвестных $p,q$ с коэффициентами, зависящими от параметров $x,y:$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} p - p\cdot \sin(x + 5\cdoty) - q\cdot \cos(5\cdot x - y)=0 \\ q - q\cdot \sin(5\cdot x - 3\cdot y)+p\cdot \cos(3\cdot x+5\cdot y)=0 \\ \end{array} \right.\eqno (1)$$

Определитель этой системы равен:

$$\det=(1-\sin (x+5))(1-\sin (5x-3y))+\cos (3x+5y)\cos (5x-y)\eqno (2)$$

Определим область $S$ изменения параметров $x,y$ неравенствами:

$$-\frac {\pi }2+2\pi<x+5<\frac {\pi }2+2\pi$$

$$-\frac {\pi }2<5x-3y<\frac {\pi }2$$

$$-\frac {\pi }2<3x+5y<\frac {\pi }2$$

$$-\frac {\pi }2<5x-y<\frac {\pi }2$$

В области $S$ определитель системы $(1)>0$, следовательно, система $(1)$ имеет лишь нулевое решение, поэтому исходная система нелинейных уравнений имеет в $S$ единственное решение $x=0,y=0$.

[Rak so dna]

mihiv у ТС опечатка в условии (пробел после \cdot не поставил). Должно быть

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x - x\sin(x + 5y) - y\cos(5x - y)=0 \\ y - y\sin(5x - 3y)+x\cos(3x+5y)=0 \end{array} \right$$

Сомневаюсь, что это как-то аналитически решается.

[mihiv]

Rak so dna в сообщении #1670606 писал(а):

у ТС опечатка в условии

Rak so dna, спасибо.
После исправления условия система $(1)$ имеет вид:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} p - p\cdot \sin(x + 5\cdot y) - q\cdot \cos(5\cdot x - y)=0 \\ q - q\cdot \sin(5\cdot x - 3\cdot y)+p\cdot \cos(3\cdot x+5\cdot y)=0 \\ \end{array} \right.\eqno (1)$$

Определитель системы равен:

$$\det=(1-\sin (x+5y))(1-\sin (5x-3y))+\cos (3x+5y)\cos (5x-y)\eqno (2)$$

Рассмотрим вспомогательную систему линейных уравнений относительно неизвестных $p,q$ с коэффициентами, зависящими от параметров $x,y:$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} p - p\cdot \sin(x + 5\cdot y) - q\cdot \cos(5\cdot x - y)=0 \\ q - q\cdot \sin(5\cdot x - 3\cdot y)+p\cdot \cos(3\cdot x+5\cdot y)=0 \\ \end{array} \right.\eqno (1)$$

Определитель этой системы равен:

$$\det=(1-\sin (x+5y))(1-\sin (5x-3y))+\cos (3x+5y)\cos (5x-y)\eqno (2)$$

Область $S$ изменения параметров $x,y$ зададим неравенствами:

$$-\frac {\pi }2+<x+5y<\frac {\pi }2$$

$$-\frac {\pi }2<5x-3y<\frac {\pi }2$$

$$-\frac {\pi }2<3x+5y<\frac {\pi }2$$

$$-\frac {\pi }2<5x-y<\frac {\pi }2$$

В области $S$ определитель системы $(1)>0$, следовательно, система $(1)$ имеет лишь нулевое решение, а поэтому исходная система нелинейных уравнений имеет в $S$ единственное решение $x=0,y=0$

Rak so dna в сообщении #1670606 писал(а):

Сомневаюсь, что это как-то аналитически решается.

В условии требуется найти все решения в некоторой неопределенной области, так что какое-то решение получено.

[EXE]

Rak so dna в сообщении #1670606 писал(а):

Должно быть

Да, фраернулся я, спасибо. А ведь несколько раз проверял...

Rak so dna в сообщении #1670606 писал(а):

Сомневаюсь, что это как-то аналитически решается.

Конечно, об аналитике речи нет, тут и численно требуется немало усилий приложить...

mihiv в сообщении #1670654 писал(а):

система $(1)$ имеет лишь нулевое решение

Даже в ошибочном варианте она имеет решений бесконечное множество. А что касается исходного варианта, то в статье приведён график.