Привести пример функции с интегралом Лебега

[Skipper]

Интересная задача- привести пример функции, $f(x)$, где $x$ - действительный аргумент ($x \in \mathbb{R}$) на отрезке $[0; 1]$, и при этом:

1) эта функция не является непрерывной на всём отрезке, то есть разрывна во всех точках $x \in [0; 1]$,
2) функция может возвращать только два значения: $0$ и $1$.
3) интеграл Лебега от этой функции на всём множестве действительных чисел на отрезке $[0; 1]$, не равен $0$, и не равен $1$.

Какой может быть пример подобной функции?

[Dan B-Yallay]

$D(x)$ от нуля до половины ;
$1-D(x)$ на остатке интервала.

Пойдет такое?

[Skipper]

Dan B-Yallay, у вас как бы.. две функции в определении, одна для интервала до половины отрезке $[0; 0.5]$, а другая- на другой половине. А вот, чтобы на всём отрезке отрезке $[0; 1]$, было одно определение для каких действительных функция вернёт $0$, и для каких $1$ ?

[Dan B-Yallay]

Дык, а фyнкция $D(x)$ тоже, вообще говоря, определяется как две различные.
Снявши голову по волосам не плачут.

Или у Вас есть пример всюду разрывной, заданной одним выражением?

(Оффтоп)

Берите какая есть, а то потом уже и её не будет. Функции нынче нарасхват

[Skipper]

Dan B-Yallay в сообщении #1671496 писал(а):

Или у Вас есть пример всюду разрывной, заданной одним выражением?

Если такая есть, было бы вообще интересно.

А так: интересно, можно ли привести как пример, такое разбиение на два подмножества континуума действительных чисел по отрезку $[0; 1]$, чтобы мера обоих была не равна $0$, и не равна $1$ (и разбиение не по непрерывным промежуткам).
А если вы сам отрезок $[0; 1]$, разбиваете на два протяженных непрерывных промежутка, и для каждого определяете по-разному функцию, то вопрос, описанный предложением выше, остаётся открытым..

[Combat Zone]

Вот народ нынче - мало разжевать, так еще и проглотить за него просят.
Вам же сказали, что функция Дирихле тоже не одним выражением задается. Тоже одно - на одном множестве, одно - на другом.
То, что вы просите, уже вам давно принесли на блюдечке с голубой каемочкой. Осталось написать, на каком множестве эта функция равна единице, на каком - нулю, если вы в упор не видите ответа на свой последний вопрос.

[mihaild]

Насколько я понимаю, вопрос на самом деле такой: найти подмножество отрезка, такое что его пересечение с любым интервалом, а так же дополнение до любого интервала, имели ненулевую меру.

[Combat Zone]

mihaild в сообщении #1671526 писал(а):

Насколько я понимаю, вопрос на самом деле такой: найти подмножество отрезка,

Гм.
Интересно, догадывается ли об этом ТС? )

[Skipper]

mihaild , кстати, да! Вы как более опытный, умеете более точно сформулировать.
Спасибо.

Вот и интересно, как найти ("выделить") такое подмножество на континууме?

[mihaild]

Skipper, есть стандартная конструкция толстого канторова множества - замкнутого множества положительной меры, не содержащего интервалов. Соответственно любой интервал содержит не пересекающийся с ним подинтервал.
Зная о существовании такого множества, и с использованием того, что у любого интервала есть рациональный подинтервал, а рациональных интервалов счетно, постройте множество с желаемым свойством.

(Оффтоп)

Combat Zone Телепаты, как видите, вышли из отпуска

[Combat Zone]

(mihaild)

mihaild в сообщении #1672019 писал(а):

Телепаты, как видите, вышли из отпуска

Значит, мне пора на пенсию.
На самом деле, в начале моей карьеры, меня отучали от такого. Объясняли это так: мы часто оцениваем не ответ студента, а то, как мы его домыслили. Так что я уже очень давно чужие ответы (и вопросы) стараюсь не домысливать. По меньшей мере, на работе мне это удается.

А так теперь уже и ТС не сможет ответить, на самом ли деле он это хотел спросить, или он уже успел в это поверить.

[mihaild]

(Combat Zone)

Combat Zone в сообщении #1672040 писал(а):

На самом деле, в начале моей карьеры, меня отучали от такого. Объясняли это так: мы часто оцениваем не ответ студента, а то, как мы его домыслили. Так что я уже очень давно чужие ответы (и вопросы) стараюсь не домысливать.

В случае экзаменов - согласен. В случае форума, и, вообще, процесса обучения - нужно учиться в том числе и задавать вопросы, а для этого иногда стоит и видеть "как надо". Тут нужен какой-то баланс. Я довольно сильно подозреваю, что у ТС была в голове какая-то похожая картинка, и он не знал, как её описать.

У меня как-то из такого родилась одна из моих любимых тролльских задач: доказать, что функция, интегрируемая по Лебегу на $[0, 1]$, представима в виде суммы функции, интегрируемой по Риману, и функции, интеграл которой по отрезку равен нулю.