Что такое понимать математику

[eugensk]

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #1671033 писал(а):

Крайне не рекомендуется пытаться понять понятие "понимание", во избежание риска впасть в бесконечную рекурсию.

В рассказе Теда Чана одному или даже двоим это удалось. Разумеется, фантастическом.

[Утундрий]

(Оффтоп)

eugensk в сообщении #1671037 писал(а):

В рассказе Теда Чана одному или даже двоим это удалось.

И на радостях они тут же попытались друг друга элиминировать. Е.м.н.и.п. проиграл любитель театральных эффектов.

[EminentVictorians]

Dan B-Yallay в сообщении #1671026 писал(а):

Как и существование математиков, которые никак не могут понять сложение дробей до тех пор, пока не ознакомятся с интегралом Лебега-Стилтьеса.

Забавно, что это предложение буквально про меня (ну за тем исключением, что я не математик). Понять, допустим, конструкцию интеграла Курцвейля-Хенстока для меня было проще, чем понять дроби. Конечно, я умел, допустим, приводить дроби к общему знаменателю на тот момент, когда изучал этот же интеграл. Но понял дроби я уже после (буквально пару лет назад может быть). Я понимаю, что это выглядит не очень адекватно с моей стороны, как будто я вру или выпендриваюсь, но это так и есть. И у этого есть причина: на мой взгляд понятие дроби сложное. Заучить механически правила с дробями в школе можно, но понять, почему они такие - это гораздо сложнее. Понятие дроби упирается в целый ряд довольно сложных конструкций.

1. Нужно знать, что такое фактормножество (потому что множество дробей - это буквально фактормножество подмножества упорядоченных пар целых по известному отношению эквивалентности).

2. Нужно осознавать понятие формального символа. Для меня это тоже большая личная история: я давно научился понимать теоретико-множественные определения, а вот эти формальные штуки до меня долго не доходили (слава богу, что хоть сейчас дошли).

3. Надо понимать связь теоретико множественного определения с определением дроби как формального знака, их взаимную заменяемость, цели того и другого определения.

4. Нужно понимать мотивацию дробей: что мы хотим иметь алгебраическую систему, согласованную с неформальной практикой действий над частями целого. Раз алгебраическую систему - значит хотелось бы, чтобы она расширяла действия над уже существующими (исторически - натуральными, логически - целыми) числами, если такое возможно. Оказывается, что возможно. Тут в принципе надо обладать определенной математической культурой, чтобы понимать, что математика - это не данные свыше сакральные знания, а вполне себе собственноручно творимое детище, где человек может сам выбирать определения, сам менять их, и т.д. И что это нормально - искать определения под заданные цели.

5. Ввиду неоднозначности представления числа дробью, надо понимать что такое конгруэнция (корректность операции на фактормножестве, т.е. независимость от выбора представителя). А это идея универсальной алгебры.

6. Далее можно заметить, что расширить наши предыдущие числа (целые) можно многими способами, причем и свойства операций сохранятся, и согласованность с неформальной практикой будет (куски считать сможем). Поэтому дроби - это нечто большее. А именно, мы хотим минимальное из всех таких расширений. "Экстремальное условие" на классах алгебраических систем. Как его формализовать? Да, теория категорий:

EminentVictorians в сообщении #1605704 писал(а):

Плюс мне сама конструкция поля частных нравится - она универсальная. Давайте прикинем на уровне интуиции, что мы вообще хотим от поля частных? Довольно очевидно, что мы хотим в некотором смысле минимально расширить целостное кольцо до поля. Сделать что-то типа свободного поля. Но, во-первых, свободное поле было бы, если бы мы конструировали поле из голого множества. Во-вторых, свободных полей не бывает (здесь
я кратко обрисовал почему). Короче говоря, нам нужно не максимально свободное поле, а как бы свободное "по модулю кольцевой структуры" (точно так же как от группы Гротендика мы хотим не максимально свободную группу, а как бы свободную по модулю структуры подлежащего моноида). Уже из этих интуитивных соображений все понятно: нам нужен левый сопряженный функтор к забывающему $U: \mathbf{Fld} \to \mathbf{Dom_m}$ (последняя - категория целостных колец с мономорфизмами в качестве стрелок). Почему $\mathbf{Dom_m}$, а не просто $\mathbf{Dom}$? Очевидно: нам же вложение нужно, а не просто какая-то функция, т.е. наша универсальная стрелка должна быть мономорфизмом. Ну и плюс тот факт, что в $\mathbf{Dom}$ тупо нету универсальной стрелки из каждого кольца в поле.

В итоге, видно, что понятие дроби - сложное. По-моему, гораздо сложнее всяких конструкций вещественных интегралов. Понять все это в школе - нереально.

(Оффтоп)

Хотя мне говорили в школе, какого черта я заканчиваю школу и так и не смог разобраться "даже" с дробями.

vpb в сообщении #1671028 писал(а):

Да как в это поверить можно ? учитывая, что векторы дети в школе в 8 классе проходят, см. учебники Погорелова, а еще лучше Атанасяна ? Или у вас была "интеллектуальная биография" очень уж, просто экстремально, необычная, или вы лукавите.

Да я не учился в школе практически вот и все. Это можно назвать "интеллектуальная биография"? Да, у нас были векторы в школе, я попытался вникнуть, ничего не понял и просто забил, списывал с гдз. Хорошо, что учительница понимающая оказалась, вывела тройку.

[tolstopuz]

EminentVictorians в сообщении #1671066 писал(а):

5. Ввиду неоднозначности представления числа дробью, надо понимать что такое конгруэнция (корректность операции на фактормножестве, т.е. независимость от выбора представителя). А это идея универсальной алгебры.

(Оффтоп)

Лем писал(а):

"... и курица, снося яйцо, тем самым показывает, что стоит на позициях эмпиризма, рационализма, оптимизма, каузализма и активизма. Она сносит яйцо, то есть действует, значит, она активистка. Высиживает это яйцо в убеждении, что его можно высидеть: это уже незаурядный оптимизм. Она рассчитывает на появление цыплёнка, из которого вырастет новая курица, значит, она ещё и прогнозистка, а также каузалистка, поскольку признаёт причинно-следственную связь между теплом своего брюха и развитием птенца.
Курица только не может всего этого прокудахтать, и философия её носит инстинктивный характер - она встроена в её куриные мозги.

[Утундрий]

Ректальная тонзиллэктомия, как это я называю.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1671066 писал(а):

Конечно, я умел, допустим, приводить дроби к общему знаменателю на тот момент, когда изучал этот же интеграл. Но понял дроби я уже после (буквально пару лет назад может быть).

Судя по написанному далее, с тех пор (как научились приводить к общему знаменателю) Вы изрядно деградировали, ибо перестали понимать что такое дроби.

[drzewo]

EminentVictorians в сообщении #1671023 писал(а):

Я не понимал действия с векторами и матрицами до тех пор, пока меня не осенило, что суть векторов - просто в том, что есть свободное, транзитивное и согласованное с операциями действие какой-то группы

Потому, что подальше надо держаться от дисциплин, к которым так фатально нет способностей.

[Booker48]

EminentVictorians
Спасибо! Лучший текст со времён клейновской "Элементарной математики с точки зрения высшей"!
Прямо пелена с глаз спала.

[Утундрий]

Я вот внезапно осознал, что не понимаю, как строят па́годы. Пойду-ка построю парочку па́год.

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1671066 писал(а):

Нужно

Для его "нужно"? Для приятного ощущения - кому-то может быть и нужно. Для решения задач - сомневаюсь что нужно хоть кому-то.

(Оффтоп)

EminentVictorians в сообщении #1671066 писал(а):

А именно, мы хотим минимальное из всех таких расширений. "Экстремальное условие" на классах алгебраических систем. Как его формализовать?

Да так и формализовать: что любое другое поле, содержащее наше кольцо, содержит наше поле в качестве подполя. Троллейбус-из-буханки.jpg

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1671094 писал(а):

Да так и формализовать: что любое другое поле, содержащее наше кольцо, содержит наше поле в качестве подполя.

Тут еще дополнительный момент про гомоморфизм: что гомоморфизм из поля частных в это самое "любое другое поле" единственен. И, похоже (на 100% не уверен), можно обобщить до:
1) "любое другое поле" можно заменить на "любое другое целостное кольцо",
2) а "содержащее" заменить на "имеющее мономорфизм из нашего кольца в него" (где мономорфизм понимается в смысле категории $Dom_{m}$ целостных колец с мономорфизмами)

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1671094 писал(а):

Для его "нужно"? Для приятного ощущения - кому-то может быть и нужно.

Я почти всё пишу относительно себя самого. Хотя иногда, бывает, подзаносит и начинаю какие-то глобальные выводы делать, но стараюсь бороться с этой привычкой.

[Утундрий]

Короче, это не лечится.

Anton_Peplov
Вам туда точно не надо.

[epros]

Констатирую, что некоторые явно не понимают, что значит "понимать".