Что такое понимать математику

[Anton_Peplov]

На форуме время от времени возникают темы в духе "не понимаю, почему это определение именно такое" или "могу проследить доказательство по шагам, но не понимаю, что происходит". Мне бы хотелось поговорить о подобных затруднениях, потому что я хорошо с ними знаком по своему опыту.

В свое время я закончил глубоко провинциальный вуз по специальности, на которой математика вроде бы нужна, а вроде бы и не очень. Мне прочитали там "общий курс высшей математики" - очень краткий, беглый и скомканный. Например, линейная алгебра там была в объеме матриц, определителей и СЛАУ, без линейных пространств, не говоря об операторах. Теорвер - в объеме "задач на игральные кости" с конечным числом элементарных исходов, без случайных величин. Ну и так далее.

Прошли годы, я решил, что хочу знать математику лучше, и засел за учебники. И тут же столкнулся с первой из упомянутых проблем - непониманием мотивировки определений. Почему при определении предела используется проколотая окрестность, а не полная? (Ответ: чтобы предел не менялся при переопределении функции в одной точке). Почему при определении производной в точке $x$ мы оперируем промежутком $(x, x + \Delta x)$, а не $(x - \Delta x/2, x + \Delta x/2)$, ведь в школе нам говорили, что мгновенная скорость - это предел средней? (Ответ: вот поэтому). Почему правило перемножение матриц такое замысловатое? В чем смысл определителя, монструозное комбинаторное определение которого выглядит взятым с потолка? И еще очень много подобных вопросов: почему... почему... почему...

Со второй проблемой - "могу проследить доказательство по шагам, но не понимаю, что происходит" - я тоже сталкивался. Я бы описал ее так. Представим себе человека, который никогда не играл в шахматы. Ему дали список правил и поручили следить за партией. Он сможет констатировать, что – да, каждый ход сделан по правилам, и – да, это мат. Он видит, что поставлен мат, но не понимает, почему он поставлен. «Потому что король ходит так, а ферзь этак» – не ответ. Правила, регулирующие возможные и невозможные ходы – это еще не шахматы. Игрок проиграл, потому что не развивал фигур / упустил центр / не берег пешек и так далее. В шахматах есть свои законы, свои причинно-следственные связи. А наш наивный наблюдатель не знает их, не понимает, как здесь все устроено. Вот такое ощущение у меня и возникало от некоторых доказательств. Я считал, что мерило понимания - это ощущение "Ага, ну конечно, как же иначе-то!". А если этого ощущения не возникло - значит, я чего-то недопонял.

Почему возникают такие трудности? Я вижу следующие причины:
1. Издержки самообразования. Большинство учебников рассчитано на использование вместе с аудиторными занятиями, а не вместо них. Поэтому авторы не уделяют внимания неформальным объяснениям, которые должен сделать лектор.
2. Некоторые определения действительно трудно мотивировать иначе, чем "вот так работает, а по-другому - нет". Например, определение арифметических операций над комплексными числами.
3. Возможно, в сложившейся культуре преподавания математики (и в учебниках, и в аудиториях) мотивировкам действительно уделяется меньше внимания, чем стоило бы. Точно я об этом судить не могу, т.к. никогда не учился на факультетах, где много и всерьез изучают математику.
4. Дело еще и в складе мышления учащегося. Рассел писал: "Я жаждал определенности, как иные жаждут религиозной веры." Вот у меня тоже что-то такое, тяга все время задавать вопрос "почему". Начав с матана, в поисках основ и мотивировок я основательно погрузился в общую топологию, кое-что узнал про теорию меры и т.д. Некоторые особо философские личности всю жизнь медитируют на формулу $0 = 0$. Я очень стараюсь им не уподобляться, но с основаниями математики все-таки чуть-чуть ознакомился.

Какие лекарства от ощущения непонимания я нашел?
0. Посмотреть ту же тему в других учебниках. Самый важный и естественный пункт.
1. Если понятие абстрактное, то посмотреть конкретные примеры, желательно - разнообразные. Понятно, что для многих структур, от топологического пространства до евклидова пространства, самым естественным примером будет $\mathbb R$, но нужны и другие примеры. Полезны минимальные примеры вроде дискретных пространств. Если понятие допускает геометрическую интерпретацию, то нужно ее выяснить. С определителем гораздо легче смириться, когда знаешь про объем параллелепипеда.
2. Полистать контрпримеры к разным утверждениям (тут настоящей находкой оказалась книга Гелбаума и Олмстеда "Контрпримеры в анализе") и порешать задачи, особенно - на доказательство. Глядишь, что в голове и прояснится.
3. Вопрос "почему" непродуктивен. Нужно искать ответы на математически корректные вопросы. Например, изменить определение по своему вкусу и проверить, какие свойства при этом теряются. Например, определение подпространства в топологии долго казалось мне неестественным. Если $\{U\}$ - открытые множества в $X$ и $M \subset X$, то почему в $M$ должны быть открыты множества $\{U \cap M \}$? Почему не оставить открытыми только $\{U | U \subset M \}$? Я попробовал так сделать, и выяснилось, что при этом практически все наследственные свойства перестают быть наследственными.
4. В конце концов, можно прямо спросить у специалистов о мотивировке определения. Глядишь, они и подскажут.
5. Если ничего не помогло, скорее всего, вопрос "почему" либо преждевременный, либо бессодержательный. В таком случае вопрос "почему" нужно отложить и продолжить изучение предмета. Мерило понимания - это умение решать задачи, а "ага-переживание" - приятное, но не обязательное дополнение. Оно может прийти потом, много позже, чем был задан вопрос "почему". И, возможно, через изучение смежных или более глубоких дисциплин. Например, мне многое стало понятнее про дифференцирование функций нескольких переменных, когда я изучил азы линейной алгебры.
6. Если чувство понимания не придет, то и черт с ним. В конце концов, математика - штука для человека новая в эволюционном масштабе времени, и никто не сказал, что все математические понятия должны быть для нашего разума так же легки и естественны, как "если уронить банан, он упадет". И уж точно лучше знать без "ага-переживания", чем годами медитировать над школьным выводом тригонометрических тождеств, пытаясь уловить в них скрытую истину.

А как у вас? Сталкивались ли вы с проблемами "не понимаю, почему это определение именно такое" или "могу проследить доказательство по шагам, но не понимаю, что происходит"? Если да, то на каком материале? Как их решили?

[peg59]

Да хоть сейчас. Читаю "Гравитацию" Бёрке. Дохожу до утвреждения, что базисные векторы это операторы $\partial / \partial x_i$ . Векторы, которые всегда были для меня стрелочками в пространстве, вдруг стали операторами, которые "хотят" что-то (неважно что) продифференцировать. А базисные ковекторы (о которых я узнал вот только что) из поверхностей уровня превратились вообще непонятно во что: $dx_i$, которые до этого были вообще условностью, изображавшей бесконечно малые приращения.
И мне теперь с этим жить.
А начинаю искать, откуда что берется, и натыкаюсь на группы и алгебры Ли, дифференциальные уравнения и функции Грина и Ляпунова. А в алгебрах Ли волшебным образом возникает операция коммутации. Почему именно она эквивалент произведения? Все захватывающе интересно, только дорожки назад пока не видно.

[talash]

Я понимаю слово "понимать", как возможность предсказывать. Курс математики, рассчитанный на понимание, должен быть сделан так, чтобы давались все предпосылки из которых талантливый читатель сам сможет увидеть все следствия.

[wrest]

Anton_Peplov в сообщении #1670962 писал(а):

или "могу проследить доказательство по шагам, но не понимаю, что происходит"?

Ну вот тут я себе отвечал в том духе, что для того чтобы найти доказательства, Великие потратили немало жизней, наломали дров и набили шишек. А нам достался концентрат, так что не стоит пытаться объять необъятное (в смысле -- необъятное одним студентом за отведенные часы обучения).

[vpb]

Anton_Peplov в сообщении #1670962 писал(а):

"могу проследить доказательство по шагам, но не понимаю, что происходит"? Если да, то на каком материале? Как их решили?

Сталкивался, не слишком давно. Прочитал статью некоего математика, в которой доказывалась некая теорема. Алгебраическая, скажем так. По шагам его рассуждения понял, а в целом картинка в голове сложилась плохо. Тогда как-то сложилась, а сейчас уже и забыл. То есть, я совершенно убедился, что его рассуждения правильные, но вот так "занутрить" их, чтобы попытаться провести аналогичные в другой ситуации, не смог.

Как решил ? А никак. Передо мной была задача, прежде всего, убедиться в том, что формально там всё правильно. А достигать глубокого неформального понимания в той ситуации, в некотором роде, и не обязательно было. (Нет, это было не рецензирование, как можно было бы подумать, а совсем другая ситуация. Мне нужно было убедиться в правильности той статьи именно для самого себя.)

-- 21.01.2025, 15:45 --

Anton_Peplov в сообщении #1670962 писал(а):

Почему при определении предела используется проколотая окрестность, а не полная?

Потому, что в математике есть стопицот ситуаций, когда функция не определена в полной окрестности, а предел ее в точке, по проколотой окрестности, нас как раз и интересует. Простейший пример --- определение производной. Более (гораздо) хитрый, но похожий --- теорема об устранимой особенности в ТФКП.

[vpb]

Anton_Peplov в сообщении #1670962 писал(а):

Большинство учебников рассчитано на использование вместе с аудиторными занятиями, а не вместо них.

А это плохие учебники, фтопку их. Возможно, разные какие-нибудь методические разработки провинциальных вузов именно таковы.

(Оффтоп)

Это не в Ваш огород камень, что Вы х** знает где учились, а так...

Но, кстати говоря, эти разработки в значительной степени пишутся не для освоения студентами, а чтоб продвинуться на очередную должность, типа со старшего на доцента, и т.д. Так что не странно.

Нормальный учебник таков, что его можно читать в однова. И иначе и быть не может, из следующего соображения. Научные люди всю жизнь занимаются самообразованием, в норме. А если бы все учебники были рассчитаны на работу с преподавателем, то знания каждого ученого ограничивались бы только тем, что ему так-сяк преподали в вузе. А тогда бы наука остановилась. (Такое вот доказательство от противного...).

[EminentVictorians]

Anton_Peplov в сообщении #1670962 писал(а):

А как у вас? Сталкивались ли вы с проблемами "не понимаю, почему это определение именно такое"

Было дело (и не прошло)

Anton_Peplov в сообщении #1670962 писал(а):

Вопрос "почему" непродуктивен.

Вообще не согласен. По-моему, самый продуктивный вопрос в принципе.

Anton_Peplov в сообщении #1670962 писал(а):

Почему при определении предела используется проколотая окрестность, а не полная?

Дело в смысле предела, при определении через окрестности он замыливается деталями. Смысл в базах. А полные окрестности тоже базу образуют, поэтому через них тоже можно теорию строить (просто она менее общая получится, но многое сохранится).

Anton_Peplov в сообщении #1670962 писал(а):

Почему правило перемножение матриц такое замысловатое?

Чтобы был изоморфизм с линейными операторами по композиции. Да и другие умножения тоже есть.

Anton_Peplov в сообщении #1670962 писал(а):

В чем смысл определителя, монструозное комбинаторное определение которого выглядит взятым с потолка?

Единственный полилинейный индикатор линейной зависимости, нормированный единицей на единичных векторах. Из этого условия формула через перестановки выводится.

Anton_Peplov в сообщении #1670962 писал(а):

И еще очень много подобных вопросов: почему... почему... почему...

И скорее всего все они - нормальные и вполне заслуживающие рассмотрения.

[EminentVictorians]

Anton_Peplov, а можете написать эти самые почему-вопросы, которые Вас интересуют (или интересовали в прошлом). Хочу сравнить со своими.

[Dan B-Yallay]

EminentVictorians в сообщении #1670997 писал(а):

Anton_Peplov в сообщении #1670962 писал(а):

Почему правило перемножение матриц такое замысловатое?

Чтобы был изоморфизм с линейными операторами по композиции. Да и другие умножения тоже есть.

Очень доходчивый и исчерпывающий ответ человеку, только начавшему изучать матрицы и определители.

Приблизительно как блондинке, спрашивающей почему электромобилям не требуется бензин -- взять и выкатить уравнения электродинамики в дифференциальной форме.
И добавить, что эти же соотношения есть и в интегральном виде.

[EminentVictorians]

Dan B-Yallay в сообщении #1671021 писал(а):

Очень доходчивый и исчерпывающий ответ человеку, только начавшему изучать матрицы и определители.

Люди все разные, мне бы например такой ответ помог.

Dan B-Yallay в сообщении #1671021 писал(а):

только начавшему изучать матрицы и определители.

Может быть в этом и проблема. Я не понимал действия с векторами и матрицами до тех пор, пока меня не осенило, что суть векторов - просто в том, что есть свободное, транзитивное и согласованное с операциями действие какой-то группы (например, операторов типа сдвига) на каком-то множестве. Благо я группы и действия до векторов изучал, поэтому застрял с этими векторами не очень надолго.

[vpb]

Вот еще пример определения, которое долго понять не мог: естественные преобразования функторов. Мне кажется, я его понял лет через десять после того, как в первый раз прочел. Но оно мне в эти десять лет, в общем, и не было нужно.

В общем, все проблемы непонимания решаются, говоря одним словом, постепенно. Не понимаем чего-то ---помедитируем немного, ну а потом как-нибудь займемся тем, что понимаем. Упорное непонимание чего-то --- это косвенный признак того, что оно нам на данный момент и не нужнО.

(Оффтоп)

Про х** я зря написал. Можно было поизящней выразиться, типа "в ВУЗе далеко не из Лиги Плюща". Да и, существование провинциальных вузов --- оно тоже смысл имеет. Не может же МГУ всех принять. В общем, извините, если что.

EminentVictorians в сообщении #1670997 писал(а):

Дело в смысле предела, при определении через окрестности он замыливается деталями. Смысл в базах. А полные окрестности тоже базу образуют, поэтому через них тоже можно теорию строить (просто она менее общая получится, но многое сохранится).

Здесь всё ровно наоборот. Не смысл определения предела по проколотой окрестности в том, что это частный случай предела по базе, а смысл существования понятия предела по базе в том, что оно обобщает понятия предела функции в точке, предела последовательности, одностороннего предела, предела на бесконечности и т.д. , и иметь в виду такое обобщение может быть полезно. Но --- после знакомства с частными видами пределов. Ибо человеку свойственно изучать от частного к общему, как бы кто ни утверждал, что он особый, и изучает от общего к частному.

[Dan B-Yallay]

EminentVictorians в сообщении #1671023 писал(а):

Люди все разные

Согласен.

EminentVictorians в сообщении #1671023 писал(а):

Я не понимал действия с векторами и матрицами до тех пор, пока меня не осенило, что суть векторов - просто в том, что есть свободное, транзитивное и согласованное с операциями действие какой-то группы (например, операторов типа сдвига) на каком-то множестве

Наверное такое возможно. Как и существование математиков, которые никак не могут понять сложение дробей до тех пор, пока не ознакомятся с интегралом Лебега-Стилтьеса.
Но я лично в такое не верю. А вы?

[vpb]

EminentVictorians в сообщении #1671023 писал(а):

Я не понимал действия с векторами и матрицами до тех пор, пока меня не осенило, что суть векторов - просто в том, что есть свободное, транзитивное и согласованное с операциями действие какой-то группы (например, операторов типа сдвига) на каком-то множестве. Благо я группы и действия до векторов изучал, поэтому застрял с этими векторами не очень надолго.

Да как в это поверить можно ? учитывая, что векторы дети в школе в 8 классе проходят, см. учебники Погорелова, а еще лучше Атанасяна ? Или у вас была "интеллектуальная биография" очень уж, просто экстремально, необычная, или вы лукавите.

-- 22.01.2025, 05:09 --

Anton_Peplov в сообщении #1670962 писал(а):

Я считал, что мерило понимания - это ощущение "Ага, ну конечно, как же иначе-то!". А если этого ощущения не возникло - значит, я чего-то недопонял.

Ну и правильно считали. Я уже старенький, а всё еще считаю так. Надо только не убивацо апстену при его отсутствии. Что у меня (отсутствие "ага-чувства") было неоднократно.

-- 22.01.2025, 05:28 --

Anton_Peplov в сообщении #1670962 писал(а):

2. Некоторые определения действительно трудно мотивировать иначе, чем "вот так работает, а по-другому - нет". Например, определение арифметических операций над комплексными числами.

Нет, тут как раз всё можно мотивировать. Вспомнить, что комплексные числа на самом деле --- это воображаемые числа вида $a+b\sqrt{-1}$. И определять арифметические действия над ними не нужно, а просто выполнить их согласно правилам арифметики. Однако, в современной математике понятие воображаемого числа считается скользким, а понятие "упорядоченная пара" --- нормальным. Отсюда действия над комплексными числами как упорядоченными парами. И надо еще проверить, что их (упорядоченных пар) арифметика удовлетворяет всем привычным законам. А по учебникам это может быть трудно понять, потому что часто авторы (скажем, Курош или Кострикин, или Шабат) сразу дают современное формальное определение, не говоря о комплексных числах в "историческом" виде.

Вообще же да, ситуация "я обнаружил, что вот такое определение работает, а как оно у меня в голове возникло --- то долгая история" вполне бывает. В таких случаях надо к определению привыкать, пользоваться им, а там, глядишь, и у самого в голове какая-то картинка возникнет.

[A_I]

Несколько притянутые за уши проблемы.
Если кто-то не способен понять, что «определения, правила и проч. постулаты» это только верхушка айсберга (пусть и важнейшая), и надо ещё «оказывается» осваивать некий верхний уровень, то ему лучше условно «стихи писать» или «в философию» (хотя и там нужны свои «верхние уровни»)

[Утундрий]

Ещё одна сороконожья тема... Ну да ладно. Если об этом говорят, значит, это хоть кого-то да беспокоит.

Цитата:

Понима́ние — универсальная операция мышления, связанная с усвоением нового содержания, включением его в систему устоявшихся идей и представлений.

Гласит рукопедия. И отсюда уже можно сделать ряд важных выводов.

Главнейший из них следующий. Если у человека отсутствует "система устоявшихся идей и представлений", то никакое понимание чего бы то ни было — невозможно.

Второй по значимости вывод. Качество понимания зависит от способа включения нового содержания в эту самую систему устоявшихся... и далее по тексту. Можно, например, сваливать их в одну кучу. Так появляются ерундиты.

Ну и последний на сегодня вывод. Крайне не рекомендуется пытаться понять понятие "понимание", во избежание риска впасть в бесконечную рекурсию.