Как доказать что функция сюръективна, инъективна?

[EShikh]

Дана функция
$\mathbb{R}\to\mathbb{R}$
$f(x) = x^2 + \sqrt{x}$
Очевидно, что: $D(f) = [0;+$\infty$]$ и $E(f) = [0;+$\infty$]$ .
Получатается отображение не из $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, а $[0;+$\infty$]\to[0;+$\infty$]$ .
Функция непрерывно возрастает, значит она точно, инъективна. Но как доказать - не понимаю.
Я думаю, что функция сюръективна, если под областью занчений понимаем $[0; +\infty$]$ и не сюръективна, если $E(f) = \mathbb{R}$. Какая все-таки область значений имеется ввиду?

[Combat Zone]

EShikh в сообщении #1670403 писал(а):

Я думаю, что функция сюръективна, если под областью занчений понимаем $[0; +\infty)$ и не сюръективна, если $E(f) = \mathbb{R}$. Какая все-таки область значений имеется ввиду?

Как напишут - такая и имеется в виду. Совсем не безразлично, откуда и куда будет запись.
Запись же

EShikh в сообщении #1670403 писал(а):

Дана функция $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$

и вовсе некорректна: функция должна каждому элементу первого множества ставить в соответствие ровно один - второго. А она - не каждому. Так что объект в задании, получается, и функцией назвать нельзя.

Вот если исправить область определения - то будет можно. Но куда функция действует - можно писать по-разному.
И в $\mathbb{R}$, и в $[0,+\infty)$. В зависимости от этого и свойства функции будут разные.
Доказывать - прямо по определению.

[EShikh]

Combat Zone в сообщении #1670404 писал(а):

Доказывать - прямо по определению.

Понятнее не стало.

Вот определение:
«Функция $f$ называется разнозначной, инъективной (инъекцией) или 1-1-функцией, если отношение $f^-1$ является частичной функцией, т. е. для любых элементов x1, x2 $\in D(f)$ из x1 $\ne$ x2 следует $f(x_1) \ne f (x_2).$ » (Судоплатов, С. В. Дискретная математика : учебник / С. В. Судоплатов, Е. В. Овчинникова. — 5-е изд. — Новосибирск : НГТУ, 2016. — ISBN 978-5-7782-2820-7. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/118335 (дата обращения: 17.01.2025). — Режим доступа: для авториз. пользователей. — С. 23.).

Нашёл обратную функцию, она равна исходной. Только причем здесь условие, что она должна быть частичной?

[mihaild]

EShikh в сообщении #1670433 писал(а):

Только причем здесь условие, что она должна быть частичной?

Посмотрите там определение частичной функции. Любая функция является и частичной функцией, обратное неверно.

EShikh в сообщении #1670433 писал(а):

Нашёл обратную функцию

Обратная функция есть только если в качестве кодомена берется $[0, \infty)$. Если всё $\mathbb R$, то обратной функции нет, но обратное отношение всё еще является частичной функцией, так что функция всё еще обратима (это общее свойство - инъективность функции не меняется при добавлении элементов в кодомен).

[skobar]

EShikh
Насколько я понимаю, это уровень младших курсов технического университета, и функция определяется через отношения. Пара вопросов:
1. Вы понимаете разницу между отношениями и функциями? Что функция - это частный случай отношения?
2. Вы понимаете, что если функция $f:X \to Y$, то это не означает, что $Y$ - это область значений $f$ ?

[Combat Zone]

EShikh
Бэкграунд хорошо бы указывать, где учитесь (учились), и все такое.
Для технических вузов нормально, когда область определения "определяется" вручную, т.е. да, посмотрите определение частичной функции. И запись $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ будет нормальной. Только определения сюръективности и инъективности будут выглядеть иначе. Вот и посмотрите, как, и напишите сюда. Если вы студент, лучше в своих конспектах посмотрите. В учебниках пишут по-разному, не обязательно так рассказывали вам. Если хотите качественной консультации.

А вот про отношения у вас скорее всего ни слова не было. Если вы не с математического факультета, конечно.

EShikh в сообщении #1670433 писал(а):

Нашёл обратную функцию, она равна исходной. Только причем здесь условие, что она должна быть частичной?

Это вряд ли. Нашли вряд ли. И исходной она не равна.

[skobar]

Combat Zone в сообщении #1670589 писал(а):

А вот про отношения у вас скорее всего ни слова не было

А как вы думаете, откуда я взял отношения? Из учебника упомянутого ТС. Там сначала определяются отношения, и потом через них стандартно определяется функция, как и в множестве других мест (но не в школе). И так подозреваю, что запись $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ в контексте учебника означает, что функция является подмножеством $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ (но это не точно). Сам ТС пишет:

EShikh в сообщении #1670433 писал(а):

отношение $f^-1$

Т.е. речь идет об обратном отношении (которое есть всегда в отличие от функций). Но, похоже, ТС не замечает, что термин другой. В этом же учебнике область значений определяется как множество значений, что может не совпадать с множеством, куда действует функция (но ТС в напрямую в своем посте подменяет одно другим). Поэтому я и задаю соответствующие вопросы - для понимания темы совершенно необходимо сначала прояснить эти моменты.

[Combat Zone]

skobar
Я с вами не буду спорить, что так в учебнике. Потому что тоже правда.
Я исхожу из практики - технарей редко грузят отношениями. Разве что в избранных вузах.

Но совсем необязательно ТС рекомендовали именно это пособие. В общем, дело темное, пока сам ТС не скажет, что и как у него было, какие именно определения. Как, например, функция определялась.

-- 18.01.2025, 00:52 --

skobar в сообщении #1670592 писал(а):

Поэтому я и задаю соответствующие вопросы - для понимания темы совершенно необходимо сначала прояснить эти моменты.

Не факт, что именно эти, но мешать не буду - больше одного отвечающего в теме - зло.

[skobar]

Combat Zone в сообщении #1670594 писал(а):

Я исхожу из практики - технарей редко грузят отношениями

В предисловии к учебнику ТС -а написано "Книга предназначена для студентов технических вузов".

Combat Zone в сообщении #1670594 писал(а):

Но совсем необязательно ТС рекомендовали именно это пособие.

Естественно такое может быть. Но все-таки более вероятно, что ТС цитирует свой учебник. Разумеется, только ТС может это прояснить.

[Утундрий]

А ТС знает, что он ТС?

[Combat Zone]

EShikh
ТС это вы.

Утундрий
теперь знает. Возможно )

[EShikh]

skobar
Перечитал учебник, увидел разницу между отношением и функцией, просто когда надо сделать быстро упускаешь часть информации.

Combat Zone
09.03.03, 1 курс, технический вуз, заочно, были лекции "галопом по европам", и всё. Учебник взял из ЭБС, выбирал из доступных, по принципу: не самый тонкий, не самый толстый. Пытался читать Новикова, через пару страниц в голове полная каша.

-- 20.01.2025, 08:38 --

Полностью задание сформулировано так:
Дана функция $f(x) = x^2 + \sqrt{x}$, отображающая множество действительных чисел $\mathbb{R}$ во множество действительных чисел, $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. Является ли эта функция сюръективной, инъективной, биективной? Почему?

[skobar]

EShikh в сообщении #1670787 писал(а):

Перечитал учебник, увидел разницу между отношением и функцией, просто когда надо сделать быстро упускаешь часть информации.

Отлично, теперь ещё осталось уяснить разницу между множеством, куда действует функция (в записи $f :X \to Y$ это множество $Y$) и областью значений функции $E(f)$.

EShikh в сообщении #1670787 писал(а):

Полностью задание сформулировано так:
Дана функция $f(x) = x^2 + \sqrt{x}$, отображающая множество действительных чисел $\mathbb{R}$ во множество действительных чисел, $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. Является ли эта функция сюръективной, инъективной, биективной? Почему?

Согласно определению из вашего учебника данное отношение вообще не является функцией, так как его область определения - это не все $\mathbb{R}$ (но оно является частичной функцией)

[EShikh]

skobar в сообщении #1670796 писал(а):

Отлично, теперь ещё осталось уяснить разницу между множеством, куда действует функция (в записи $f :X \to Y$ это множество $Y$) и областью значений функции $E(f)$.

Понял, что область значений равна или является подмоножеством, того множества, куда действует функция.

skobar в сообщении #1670796 писал(а):

Согласно определению из вашего учебника данное отношение вообще не является функцией

Скорее всего, в задании имеется ввиду $[0; \infty] \to \mathbb{R}$.

[skobar]

EShikh в сообщении #1670798 писал(а):

Понял, что область значений равна или является подмоножеством, того множества, куда действует функция.

Именно так. Если область значений равняется множеству, куда действует функция, то функция называется сюръективной или функцией "на".

EShikh в сообщении #1670798 писал(а):

Скорее всего, в задании имеется ввиду $[0; \infty] \to \mathbb{R}$.

Тогда сюръективной функция, очевидно, не будет, т.к. не все значения в $\mathbb{R}$ принимаются (отрицательные значения не принимаются). Не будучи сюръективной, функция не будет и биекцией (биекция - это сюръективное и инъективное отображение одновременно). Остается проверить, будет ли функция инъективной, т.е. сопоставляет ли она разным $x$-ам разные значения. Другими словами, остается проверить, что

EShikh в сообщении #1670433 писал(а):

для любых элементов x1, x2 $\in D(f)$ из x1 $\ne$ x2 следует $f(x_1) \ne f (x_2).$