Что такое многоугольник в формуле Кристоффеля-Шварца

[Padawan]

dgwuqtj в сообщении #1670476 писал(а):

Red_Herring в сообщении #1670472 писал(а):

вычет на бесконечности может быть отличен от нуля даже если бесконечность является устранимой особой точкой.

Потому что вычеты надо брать у дифференциальных форм, а не функций. Тогда всё будет в порядке, дифференциальная форма $dz$ имеет полюс в бесконечности порядка 2.

Padawan в сообщении #1537034 писал(а):

Не используя интеграл, доказать, что если

$$f(z)dz=\left(\frac{c_{-m}}{z^m}+\ldots+\frac{c_{-1}}{z}+c_0+c_1z+\ldots \right)dz$$

и $z=\varphi(t)=a_1t+a_2t^2+\ldots$, где $a_1\neq 0$, то для

$$ f(\varphi(t))d\varphi(t)=f(\varphi(t))\varphi'(t)dt=\left(\frac{b_{-m}}{t^m}+\ldots+\frac{b_{-1}}{t}+b_0+b_1t+\ldots\right)dt $$

выполнено $c_{-1}=b_{-1}$.

[Combat Zone]

Red_Herring в сообщении #1670292 писал(а):

Я думаю, что с точки зрения этой формулы многоугольник--односвязная в $\mathbb{C}$ область, со связной в $\mathbb{C}$ границей, являющейся объединением отрезков (конечных или полубесконечных).

Ну вот не факт.
Из того, что больше приглянулось, лучше всего этот материал изложен, мне кажется, в Лаврентьев, Шабат "Методы ТФКП". Связность границы, судя по примерам, там совсем не предусмотрена.

И еще попалась любопытная книжечка.
Милн-Томсон Л. Теоретическая гидродинамика.
Оне там не сильно заморачиваются (увы для нас) определениями, но похоже, собрали все, что решается с помощью формулы КШ.

[Red_Herring]

Combat Zone Спасибо. Основная теорема в Л.-Ш. формулируется только для ограниченных многоугольников, а там подразумевается односвязность, которая влечет в этом случае связность границы. А дальше идут примеры как можно вывести нечто подобное К.-Ш. для случая когда какие-то точки убежали на бесконечность. Вряд ли это можно включить в курс (все же не математики), но ссылку можно было бы дать, но однако на английский ее вроде не переводили, как и двухтомник Шабата

[Combat Zone]

Red_Herring в сообщении #1670601 писал(а):

А дальше идут примеры как можно вывести нечто подобное К.-Ш.

Ну да, условно говоря, когда неограниченный многоугольник получается "предельным переходом по ограниченным", вольно выражаясь. А в них действительно предполагалась односвязность. Правда, есть еще один случай, когда многоугольник - внешность ограниченного. (Пример "звезда" в Лаврентьеве). В общем, плюс еще случаи, которые сводятся инверсией к предыдущему.

Red_Herring в сообщении #1670601 писал(а):

но ссылку можно было бы дать, но однако на английский ее вроде не переводили, как и двухтомник Шабата

На испанский переводили :)
А двухтомник Шабата переводили и на английский, и на французский.

[Утундрий]

Ещё можно упомянуть «Теорию струй идеальной жидкости» М. И. Гуревича, где много всякого шварцекристоффельного.

[Red_Herring]

Combat Zone в сообщении #1670599 писал(а):

И еще попалась любопытная книжечка.
Милн-Томсон Л. Теоретическая гидродинамика.

Утундрий в сообщении #1670731 писал(а):

Ещё можно упомянуть «Теорию струй идеальной жидкости» М. И. Гуревича, где много всякого шварцекристоффельного.

Спасибо, этих книг я не знал