Что такое многоугольник в формуле Кристоффеля-Шварца

[Red_Herring]

Отобразить конформно $\mathbb{C}_+:= \{z\colon \operatorname{Im} (z)>0\}$ на многоугольник. Формула К-Ш

$$F'(z)=\prod _{j=1}^n (z- x_j)^{-1+\alpha_j/\pi} $$

где $\alpha_j$ внутренние углы.

Но что такое многоугольник? Прежде всего предположим что МУ д.б. односвязным. Если МУ связен и ограничен (разрезы допустимы) К-Ш применима. Иногда она применима и для неограниченных МУ.

Например, для $1$-гольниов $\mathbb{C}\setminus [0,\infty)$, для $2$-угольников $P= \{z\colon -1<\operatorname{Re} (z)< 1,\ \operatorname{Im} (z)>0\}$ и $\mathbb{C}\setminus P$, для $3$-угольника $\mathbb{C}_+ \setminus [0,ai], \ a>0$ и подобных, где углы только конечные.

Но для $2$-угольников $\mathbb{C}\setminus [-1,1]$ и $\mathbb{C} \setminus ((-\infty, -1]\cup [1,\infty))$ К-Ш не работает. Разумеется, я знаю соответствующие комформные отображения, но они не К-Ш.

МУ д.б. односвязным как подмножество комплексной плоскости $\mathbb{C}$, а не расширенной комплексной плоскости $\mathbb{C}\cup\{\infty\}$. Но $\mathbb{C} \setminus ((-\infty, -1]\cup [1,\infty))$ односвязен. Да

$$F'(z)= (z-1)(z+1)/z^2$$

работает. Значит ли это что мы можем взять

$$F'(z)=\prod _{j=1}^n (z- x_j)^{-1+\alpha_j/\pi} z^{-s}?$$

Например для $\mathbb{C}\setminus ((-\infty,-1] \cup [1,\infty) \cup (-\infty i,-i] \cup [i,\infty i))$?

[Утундрий]

Red_Herring в сообщении #1668533 писал(а):

что такое многоугольник?

Имхо, в данных циркумстанциях, нечёткое понятие "много" разумно начинать с трёх.

[makxsiq]

(Оффтоп)

Некоторые с нуля начинают. Вот например $V(0)=1$.

[Red_Herring]

Red_Herring в сообщении #1668533 писал(а):

Но что такое многоугольник?

Я думаю, что с точки зрения этой формулы многоугольник--односвязная в $\mathbb{C}$ область, со связной в $\mathbb{C}$ границей, являющейся объединением отрезков (конечных или полубесконечных).

[Red_Herring]

Утундрий в сообщении #1668789 писал(а):

Имхо, в данных циркумстанциях, нечёткое понятие "много" разумно начинать с трёх.

Нет, есть нетривиальные двуугольники, с границей, состоящей из двух непересекающихся лучей и отрезка, соединяющего их начала.

[Утундрий]

Red_Herring в сообщении #1670305 писал(а):

есть нетривиальные двуугольники, с границей, состоящей из двух непересекающихся лучей и отрезка, соединяющего их начала

Это же треугольники, вроде. Нетривиальные двуугольники это просто секторы.

[Red_Herring]

Утундрий в сообщении #1670318 писал(а):

Это же треугольники, вроде. Нетривиальные двуугольники это просто секторы.

Поскольку бесконечно удаленная точка за угол не считается (в формулу К-Ш не входит) то секторы это одноугольники, а двуугольники это две неограниченные области

\begin{tikzpicture}[scale=.3] \fill[cyan] (-3, -3)--(-1,-1)--(0,1)--(3,2)--(-3,2); \fill[lime] (-3, -3)--(-1,-1)--(0,1)--(3,2)--(3,-3); \draw[thick] (-3, -3)--(-1,-1)--(0,1)--(3,2); \end{tikzpicture}

[Утундрий]

Red_Herring в сообщении #1670324 писал(а):

бесконечно удаленная точка за угол не считается (в формулу К-Ш не входит)

Довольно странный аргумент. Фигуру, полученную посылом вдаль (на бесконечность) одной из вершин, естественно считать столькожеугольником.

[Red_Herring]

Утундрий в сообщении #1670327 писал(а):

Фигуру, полученную посылом вдаль (на бесконечность) одной из вершин

Я её не посылал, она там с самого начала была, о чем упоминалось, т.ч. считать не буду. А сколько углов и каких в каждой из частей?

\begin{tikzpicture}[scale=.3] \fill[cyan] (-3,0)--(0,0)--(0,1)--(0,0)--(3,0)--(3,3)--(-3,3); \fill[lime] (-3,-3)--(-3,0)--(0,0)--(3,0)--(3,-3); \draw[thick] (-3,0)--(0,0)--(0,1)--(0,0)--(3,0); \end{tikzpicture}

[Утундрий]

Ну а я смотрю на это дело с позиции сферы Римана. Если у треугольника одна из вершин случайно на полюс попала, то он уже и не треугольник? А чуть-чуть пошевелился и обратно стал треугольником? Неестественно как-то.

[Red_Herring]

Утундрий в сообщении #1670448 писал(а):

Ну а я смотрю на это дело с позиции сферы Римана.

Сфера Римана, безусловно, почти всегда рулит, но есть исключения. Учитывая что "многоугольник" встречается в ТФКП только в формуле К-Ш, на них следует смотреть с точки зрения этой ф-лы .

Вот вам другое исключение, которое конфузит студентов: вычет м.б. отличен от 0 только в особых точках или на бесконечности.

[Утундрий]

Red_Herring в сообщении #1670449 писал(а):

Вот вам другое исключение, которое конфузит студентов: вычет м.б. отличен от 0 только в особых точках или на бесконечности.

Так это же аргумент в мою пользу. Вычет в бесконечности не равен нулю согда "северный полюс" сферы Римана является изолированной особой точкой рассматриваемой функции.

[Red_Herring]

Утундрий в сообщении #1670470 писал(а):

Так это же аргумент в мою пользу

Нет: вычет на бесконечности может быть отличен от нуля даже если бесконечность является устранимой особой точкой.

На этом я заканчиваю дискуссию по поводу того, считать ли бесконечность вершиной многоугольника или нет.

[dgwuqtj]

Red_Herring в сообщении #1670472 писал(а):

вычет на бесконечности может быть отличен от нуля даже если бесконечность является устранимой особой точкой.

Потому что вычеты надо брать у дифференциальных форм, а не функций. Тогда всё будет в порядке, дифференциальная форма $dz$ имеет полюс в бесконечности порядка 2.

[Red_Herring]

dgwuqtj в сообщении #1670476 писал(а):

Потому что вычеты надо брать у дифференциальных форм, а не функций.

На протяжении сотен лет вычеты вводились для функций, а не для форм. Да и теперь подавляющее большинство студентов, изучающих комплексные переменные, не изучают дифференциальных форм. И я подозреваю, что подавляющее большинство учебников определяет вычет функции, а не дифференциальной формы--а я писал про студентов.