System of trig.equations No.1

[rsoldo]

Solve the system of equations:

$$ \begin{cases} \sin x+ 2\cdot \sin (x+y+z)=0\\\sin y+ 3\cdot \sin(x+y+z)=0\\\sin z+4\cdot \sin(x+y+z)=0\end{cases}$$

[Ende]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: нет олимпиадности

[nnosipov]

Ну, не знаю. Если действовать тупо (раскрыть синус суммы), то получается какая-то громоздкая система. Впрочем, это навскидку, явно ничего не выписывал. Разумеется, базисы Гребнера все решат, но это как-то неэстетично, тем более, если задача для школьников.

-- Пт янв 03, 2025 22:34:19 --

Хотя нет, все легко: нужно перейти к комплексным числам.

А вот следующая подсказка была бы почти решением задачи, поэтому воздержусь.

[Edward_Tur]

(1)+(2)-(3) легко разлагается на множители.

[Edward_Tur]

Это задача №3 10 класс всесоюзной олимпиады 1980 года, решило всего 5 участников.
Ныне в разделе "Помогите решить / разобраться".

[nnosipov]

Edward_Tur в сообщении #1670220 писал(а):

решило всего 5 участников

Похоже, задача не совсем очевидная.

[Ende]

Edward_Tur в сообщении #1670220 писал(а):

Это задача №3 10 класс всесоюзной олимпиады 1980 года, решило всего 5 участников.
Ныне в разделе "Помогите решить / разобраться".

Может, я и погорячился. Имеет смысл перенести обратно?

[nnosipov]

Ende в сообщении #1670258 писал(а):

Имеет смысл перенести обратно?

Я бы не стал, можно оставить и здесь. Для здешнего олимпиадного раздела она не такая забористая. Да и в наше время такие (чисто технические) задачи решать не так интересно.

Но можно понять сложности тогдашних школьников --- догадаться до нужного тригонометрического тождества не так-то просто.