System of trig.equations No.1

[rsoldo]

Solve the system of equations:

$$ \begin{cases} \sin x+ 2\cdot \sin (x+y+z)=0\\\sin y+ 3\cdot \sin(x+y+z)=0\\\sin z+4\cdot \sin(x+y+z)=0\end{cases}$$

[Ende]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: нет олимпиадности

[nnosipov]

Ну, не знаю. Если действовать тупо (раскрыть синус суммы), то получается какая-то громоздкая система. Впрочем, это навскидку, явно ничего не выписывал. Разумеется, базисы Гребнера все решат, но это как-то неэстетично, тем более, если задача для школьников.

-- Пт янв 03, 2025 22:34:19 --

Хотя нет, все легко: нужно перейти к комплексным числам.

А вот следующая подсказка была бы почти решением задачи, поэтому воздержусь.

[Edward_Tur]

(1)+(2)-(3) легко разлагается на множители.