Заполнение всего прямоугольника траекторией маятника

[Enceladoglu]

Пусть маятник движется по закону
$x = a \cos(\omega_1 t + \varphi)$ , $ y = b \cos(\omega_2 t + \psi)$
Очевидно траектория находиться внутри прямоугольника.
Мне нужно доказать утверждение, что траектория "заполняет" весь прямоугольник, т.е. "если $\omega_1$ и $\omega_2$ несоизмеримы, то она проходит как угодно близко к любой точке этого прямоугольника"

Мое предположение таково, пусть мы рассматриваем точку $(x_0,y_0)$. Нужно доказать что для любого $\varepsilon$ существует $t$ такое что
$\left\lvert a \cos(\omega_1 t + \varphi) - x_0 \right\rvert \leqslant \varepsilon$
$\left\lvert b \cos(\omega_2 t + \psi) - y_0 \right\rvert \leqslant \varepsilon$
Очевидно существует $t_0 $, такое что $ b \cos(\omega_2 t_0 + \psi) = y_0$
Тогда, если взять $t = t_0 + \frac{2\pi n}{\omega_2}$, то так же будет выполняться $ b \cos(\omega_2 t_0 + \psi) = y_0$. И тогда нужно найти такой $n$, что выполняется неравенство $\left\lvert a \cos(\omega_1 t + \varphi) - x_0 \right\rvert \leqslant \varepsilon$
Дальше нужно использовать то что $\omega_1$ и $\omega_2$ несоизмеримы и таким образом доказать что искомое $n$ существует, но как не знаю
Еще интересно, а может ли быть такое что траектория точно проходит через каждую точку прямоугольника ?

[drzewo]

Доказать-то это в две строки можно. Другое дело предполагается ли, что Вы знаете анализ настолько что бы так доказывать

[Enceladoglu]

drzewo
Ну я не думаю что требуются мега-продвинутые знания для доказывания этого факта.

[drzewo]

Вот если я сформулирую такую теорему, это понятно будет?
(если нет -- я сваливаю)
Пусть есть тор $\mathbb{T}^m=\mathbb{R}^m/(2\pi\mathbb{Z})^m$ и есть обмотка этого тора

$$\varphi=\omega t+\varphi_0,\quad \varphi=(\varphi_1,\ldots,\varphi_m),\quad \varphi_i\pmod{2\pi},\quad\omega=(\omega_1,\ldots,\omega_m)$$

Данная кривая заметает тор всюду плотно тогда и только тогда когда

$$\sum_{i=1}^m\omega_i n_i\ne 0\quad\forall n=(n_1,\ldots,n_m)\in\mathbb{Z}^m\backslash\{0\}$$

[Enceladoglu]

drzewo
Нет, такое мне явно не подходит

[mihaild]

Enceladoglu, слегка упрощенную версию: если $\omega$ иррационально, то $0 < \sin(\omega n) < \varepsilon$ имеет целочисленное решение для любого $\varepsilon$ решить можете?

Enceladoglu в сообщении #1670031 писал(а):

Еще интересно, а может ли быть такое что траектория точно проходит через каждую точку прямоугольника ?

А чему равна площадь множества посещенных точек?

[Red_Herring]

mihaild в сообщении #1670062 писал(а):

если $\omega$ иррационально

д.б.
если $\omega/\pi$ иррационально

[drzewo]

Enceladoglu
а откуда задачка, если не секрет?

[pppppppo_98]

drzewo в сообщении #1670037 писал(а):

Данная кривая заметает тор всюду плотно тогда и только тогда когда

$$\sum_{i=1}^m\omega_i n_i\ne 0\quad\forall n=(n_1,\ldots,n_m)\in\mathbb{Z}^m\backslash\{0\}$$

Масло масляное. Топик стартер даже в двухмерном случае не может доказать ваше утверждение. А вы ему подсовываете многомерный случай. Впрочем сложность доказательства что двухмерного , что многомерного случая одиаковая

Топик стартер вам нужно доказать следующее утверждение пусть $\omega$ - иррациональное число. Тогда $\forall_{x\in\left[0,1\right)}\forall_{0<\varepsilon\in \mathbb{R}\}\exists_{n\in\mathbb{N}}(\{nx\}<\varepsilon)$,{y}- дробная часть y. Для доказательства нужно только определение что такое иррациональное число.

[drzewo]

pppppppo_98 в сообщении #1670280 писал(а):

Топик стартер вам нужно доказать следующее утверждение пусть $\omega$ - иррациональное число. Тогда $\forall_{x\in\left[0,1\right)}\forall_{0<\varepsilon\in \mathbb{R}\}\exists_{n\in\mathbb{N}}(\{nx\}<\varepsilon)$,{y}- дробная часть y. Для доказательства нужно только определение что такое иррациональное число.

Я думаю, что на данном этапе, если Вы приведете в этой ветке подробное элементарное решение исходной задачи, то модератор возражать не станет. Считаю, что такое действие было бы полезным и конструктивным вкладом в форум.

-- 16.01.2025, 14:14 --

pppppppo_98 в сообщении #1670280 писал(а):

Впрочем сложность доказательства что двухмерного , что многомерного случая одиаковая

Очень хорошо. Предложение то же самое -- выложите подробное элементарное доказательство сформулированной мной теоремы в многомерном случае.

[Enceladoglu]

Я вернулся.
mihaild Правильно ли я понял:

$\left\lvert a \cos(\omega_1 t + \varphi) - x_0 \right\rvert \leqslant \varepsilon$
$t = t_0 + \frac{2\pi n}{\omega_2}$

$ a \cos(\omega_1 t_0 + \frac{\omega_1}{\omega_2}2\pi n + \varphi) - x_0 \leqslant \varepsilon$
$ a \cos(\omega_1 t_0 + \frac{\omega_1}{\omega_2}2\pi n + \varphi) - x_0 \geqslant -\varepsilon$

$ a \cos(\omega_1 t_0 + \frac{\omega_1}{\omega_2}2\pi n + \varphi) - x_0 \leqslant \varepsilon$
$ a \cos(\omega_1 t_0 + \frac{\omega_1}{\omega_2}2\pi n + \varphi) - x_0 \geqslant -\varepsilon$


$ \arccos\frac{x_0+\varepsilon}{a} + 2\pi k \leqslant \omega_1 t_0 + \frac{\omega_1}{\omega_2}2\pi n + \varphi \leqslant 2 \pi - \arccos\frac{x_0+\varepsilon}{a} +2\pi k $
$-\arccos\frac{x_0-\varepsilon}{a} + 2\pi k \leqslant\omega_1 t_0 + \frac{\omega_1}{\omega_2}2\pi n + \varphi \leqslant \arccos\frac{x_0-\varepsilon}{a} +2\pi k $
(Надеюсь это верные неравенства)

Все оттуда-же. Но прикол в том что это не задача - это такой ответ.

drzewo в сообщении #1670131 писал(а):

а откуда задачка, если не секрет?

mihaild в сообщении #1670062 писал(а):

А чему равна площадь множества посещенных точек?

Да, убедительный аргумент. Значит этот вопрос снялся, спасибо

[drzewo]

Enceladoglu
Мне кажется, Вам стоит сделать так. Теорема, которую я сформулировал выше, содержится в учебнике Арнольда Математические методы классической механики. На нее надо сослаться как на известный факт. Тогда Вам останется доказать, что при непрерывном отображении тора на прямоугольник, образ всюду плотной на торе обмотки будет всюду плотным подмножеством прямоугольника. А это уже много проще. А если порыться в учебниках по топологии, то наверняка там найдется и такая теорема:

drzewo в сообщении #1670286 писал(а):

Теорема. Пусть $X,Y$ -- топологические пространства. И $f:X\to Y$ -- непрерывное отображение <<на>>.
Тогда, если множество $X_0\subset X$ -- плотно в $X$, то $f(X_0)$ -- плотно в $Y$.