О квазипериодических обмотках тора

[drzewo]

Пусть есть тор

$$\mathbb{T}^m=\mathbb S^1\times\ldots\times \mathbb{S}^1,\quad \mathbb S^1=\mathbb{R}/(2\pi\mathbb{Z}).$$

Через $\varphi_i\pmod{2\pi}$ обозначим угловую координату на $i$-м сомножителе.
Зададим на торе динамическую систему

$$\dot\varphi=\omega,\quad \varphi=(\varphi_1,\ldots,\varphi_m)\in\mathbb{T}^m,\quad\omega=(\omega_1,\ldots,\omega_m)\in\mathbb{R}^m.\qquad (0)$$

Поток этой системы представляет собой обмотку тора:

$$\varphi=\omega t+\varphi_0.\qquad(1)$$

Теорема. Траектория (1) заметает тор всюду плотно тогда и только тогда когда

$$(n,\omega):=\sum_{i=1}^m\omega_i n_i\ne 0\quad\forall n=(n_1,\ldots,n_m)\in\mathbb{Z}^m\backslash\{0\}.\qquad (2)$$

Отметим, что если одна траектория заметает тор всюду плотно то все траектории заметают тор всюду плотно. Если одна траектория не заметает всюду плотно то и любая другая тоже не заметает всюду плотно.
Доказательство. (Элементарное потому длинное)
Докажем достаточность условия (2).
Отметим, что расстояние между близкими решениями системы (0) остается постоянным во все время:

$$|\varphi(t)-\tilde\varphi(t)|=|\varphi(0)-\tilde\varphi(0)|.\quad (3)$$

Предположим противное: условие (2) выполнено, но траектория (1) не заметает тор всюду плотно. Это значит, что найдется точка $\varphi'$ и шар с малым радиусом $\sigma>0$:

$$B_\sigma(\varphi')=\{\varphi\in\mathbb{T}^m\mid |\varphi-\varphi'|<\sigma\}$$

такой, что траектория (1) не пересекается с $B_\sigma(\varphi')$.
В силу (3) найдется малое $\delta>0$ такое, что если $|\hat\varphi-\varphi_0|<\delta$ то траектория

$$\gamma_{\hat\varphi}:\quad\varphi(t)=\omega t+\hat\varphi$$

не пересекает шар $B_{\sigma/2}(\varphi')$.
Через $I(\varphi)$ обозначим индикатор множества

$$\Gamma=\bigcup_{\{|\hat\varphi-\varphi_0|<\delta\}}\gamma_{\hat\varphi}.$$

Ясно, что $I$ обращается в ноль на шаре $B_{\sigma/2}(\varphi')$, и поэтому не является константой почти всюду. С другой стороны множество $\Gamma$ инвариантно, и поэтому $I$ -- первый интеграл:

$$I(\omega t+\psi)=I(\psi),\quad \forall \psi\in\mathbb{T}^m,\quad t\in\mathbb{R}.\qquad (4)$$

Разложим данный первый интеграл в ряд Фурье

$$I(\varphi)=\sum_{k\in\mathbb{Z}^m}I_ke^{i(k,\varphi)}.$$

Из формулы (4) находим

$$I_ke^{i(k,\omega)t}=I_k,\quad \forall k\in\mathbb{Z}^m.$$

В силу условия (2), это равенство выполнено только если $I_k=0,\quad k\ne 0$. Значит $I$ -- константа почти всюду. Противоречие.
Докажем необходимость условия (2). Действительно, предположим, что для некоторого целочисленного вектора $k\ne 0$ выполнено равенство:

$$(k,\omega)=0.$$

Тогда функция $f(\varphi)=\cos\big((k,\varphi)\big)$ является нетривиальным первым интегралом системы (0).
Значит множество $F_c=\{f(\varphi)\le c\}$ инвариантно. При некотором $c$ это множество непусто и не совпадает со всем тором. Следовательно траектории, лежащие в этом множестве не заметают тор всюду плотно.

[drzewo]

Часто в интегрируемых по Лиувиллю-Арнольду гамильтоновых системах классической механики появляются траектории, которые всюду плотно заметают области конфигурационного пространства.
Этот эффект является следствием двух общих фактов.
В фазовом пространстве интегрируемой по Лиувиллю-Арнольду системы имеются торы со всюду плотной обмоткой -- как в теореме выше. Эти торы проектируются в конфигурационное пространство, и тут работает следующая простая теорема.

Теорема. Пусть $X,Y$ -- топологические пространства. И $f:X\to Y$ -- непрерывное отображение <<на>>.
Тогда, если множество $X_0\subset X$ -- плотно в $X$, то $f(X_0)$ -- плотно в $Y$.

[Утундрий]

Это такой сложный способ сказать, что иррациональное число не рационально?

[drzewo]

Утундрий в сообщении #1670319 писал(а):

Это такой сложный способ сказать, что иррациональное число не рационально?

Мое доказательство сложное. Хорошо, приведите простое доказательство.

[Утундрий]

Я не спорю, а недоумеваю.

[drzewo]

Утундрий в сообщении #1670329 писал(а):

Я не спорю, а недоумеваю.

Вот и я недоумеваю. Вы знаете простое доказательство. Почему бы его здесь не привести?

[Утундрий]

Рассмотрим случай двух частот. Если их отношение рационально, то траектория периодична и наоборот. Следовательно, если их отношение иррационально, то траектория не периодична. Следовательно, посещает каждую точку ровно по одному разу. Потому, что, если хотя бы два раза, то траектория периодична.

[mihaild]

Утундрий в сообщении #1670338 писал(а):

Следовательно, если их отношение иррационально, то траектория не периодична. Следовательно, посещает каждую точку ровно по одному разу.

???
Траектория $(\sin(t), \sin(\sqrt{2} t))$ когда точку $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ посещает?

[Red_Herring]

Утундрий в сообщении #1670338 писал(а):

Следовательно, если их отношение иррационально, то траектория не периодична. Следовательно, посещает каждую точку ровно по одному разу.

Не более одного раза, как Вам уже указали. И как же следует плотность?

[mihaild]

То, что $\exp(i \pi \alpha n)$ плотно на окружности, доказывается просто (принцип Дирихле). Из этого следует доказательство для двумерного случая - точки пересечения с сечением тора устроены как раз так. Из этого хочется вытащить что-то по индукции, но не могу придумать.

-- 17.01.2025, 00:05 --

mihaild в сообщении #1670344 писал(а):

Траектория $(\sin(t), \sin(\sqrt{2} t))$ когда точку $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ посещает?

Это, кстати, про другую конфигурацию, хотя в общем-то всё то же самое.

[Padawan]

drzewo в сообщении #1670190 писал(а):

Доказательство. (Элементарное потому длинное)

Красивое доказательство, и вовсе не длинное. Но элементарным я бы его не назвал -- все-таки ряд Фурье используется.

Можно сделать добавление: последовательность сдвигов $\{\omega j+\psi\}_{j=0}^\infty$ всюду плотна тогда и только тогда, когда
$\sum\limits_{i=1}^m n_i\omega_i\neq 2\pi n_0$ для любых $(n_0, n_1,\ldots, n_m)\in \mathbb Z^{m+1}\setminus\{0\}$. Док-во такое же.

И, наверное, это условие достаточно, чтобы последовательность $\{\omega j+\psi\}_{t=0}^\infty$ была равномерно распределённой на торе.

[drzewo]

Padawan в сообщении #1670407 писал(а):

последовательность $\{\omega j+\psi\}_{t=0}^\infty$ была равномерно распределённой на торе.

эргодичность?

[Padawan]

drzewo
Я про эргодическую теорию почти ничего не знаю. Сейчас почитал Википедию. В эргодической теореме требуется, чтобы траектория любого множества положительной меры имела полную меру. Это следует из плотности траекторий точек?

[mihaild]

Padawan в сообщении #1670481 писал(а):

чтобы траектория любого множества положительной меры имела полную меру. Это следует из плотности траекторий точек?

Да. Есть $\varepsilon$-шар, на $1 - \delta$ заполненный множеством; любой $\varepsilon/2$-подшар должен быть заполнен не менее чем на $1 - 2^n \delta$. Из плотности следует, что центр этого шара проходит на расстояни $\varepsilon/2$ от нашей точки, и, значит, у нашей точки есть окрестность, на $1 - 2^n \delta$ заполненная множеством, а значит и доля меры всей траектории не меньше $1 - 2^n \delta$.

[drzewo]

Padawan в сообщении #1670481 писал(а):

В эргодической теореме требуется, чтобы траектория любого множества положительной меры имела полную меру.

я не очень понял о какой теореме идет речь, но из эргодичности системы конечно следует, что траектория любого множества положительной меры имеет полную меру и наоборот.

Padawan в сообщении #1670481 писал(а):

Это следует из плотности траекторий точек?

Не видел таких утверждений. По-моему, можно представить себе топологическое пространство $X$, которое является объединением двух непересекающихся множеств

$$X=X_1\cup X_2,\quad \mu(X_1)=\mu(X_2)=\frac{1}{2},$$

и каждое из множеств $X_1,X_2$ плотно в $X$, и $T:X\to X$ причем

$$T(X_i)=X_i,\quad i=1,2$$

и сужения
$T\mid_{X_i},\quad i=1,2$ эргодичны.

Тогда почти каждая траектория отображения $T$ плотна в $X$, но $T$ не является эргодическим на $X$

-- 17.01.2025, 20:15 --

Padawan в сообщении #1670481 писал(а):

Я про эргодическую теорию почти ничего не знаю

я тоже не много знаю

-- 17.01.2025, 20:27 --

Вообще это какой-то очень неформальный разговор пошел. Надо нам сперва о предположениях договариваться и о терминах.