Разные функциональные пространства и нормы на них

[pppppppo_98]

skobar в сообщении #1669875 писал(а):

Уже прогресс, что нашли определение в учебнике. Однако, ключевое слово вы упустили - не просто линейные функционалы, а непрерывные линейные функционалы. А непрерывность будет зависеть от топологии, которую вы введете на $\mathcal S$. И эта топология отнюдь не будет порождена вашей любимой квадратичной нормой.

выменя решили накрыть потоком обжигающей правды... Дык не трудитесь. Я с вами заранее согласен относительно непрерывности, но естественности нормы это отношение не имеет...

-- Вт янв 14, 2025 03:42:47 --

drzewo в сообщении #1669877 писал(а):

что как раз в бренной практике функций со скачками хватает, а хорошие решения как раз являются исключением?

и такое бывает - вот только часто ли у нас разные видимо инжинерная практика... Хотя мне известны (из первого круга общения) о возникновении ударных волн в уравнении навье-стокса, что полностью подтверждается бренной практикой

drzewo в сообщении #1669877 писал(а):

Вы думаете обобщенные решения зря придумали?

нет они полезны для теоретических целей - что не масловажно для последующего внедрения на практике, опять же при выводе метода конечных элементов

-- Вт янв 14, 2025 03:44:37 --

drzewo в сообщении #1669877 писал(а):

Полный дефолт. Все, дальше неинтересно.

я рад ваше величество, что ваша треуголка не треснула...

[skobar]

pppppppo_98 в сообщении #1669876 писал(а):

Абсолютно не смущает... Потом из этого пространства - как заметил вам dzwero - получаю L2, пополнением.

:) Т.е. вы на пространстве Шварца вводите топологию полунорм, а потом пополнением получаете $L^2$ ? А вы в курсе, что пополнение будет зависеть от топологии? Если вы вводите топологию полунорм, то в том то вся и штука, что взяв пополнение вы не получите ничего нового - у вас останется в точности то же $\mathcal S$, и это и есть причина, почему именно топология полунорм, а не квадратичной нормы естественна для $\mathcal S$.

И ещё, то, что вы имели ввиду пополнение - это предположил drzewo, вы же написали что-то невнятное, и слова "пополнение" не употребляли.

[mihaild]

pppppppo_98 в сообщении #1669873 писал(а):

все для вас лично мояматематbческая энциклопедия закрыта в этой теме после функций быстрого убывания (блин а я развелся - думаю ну надо же все забыл, а оказывается не я)

Что, простите?
Я ничего не знаю про сигналы, но по функану экзамен всё же сдал. На приведённом Вами же скриншоте написано "Обобщенные функции медленного роста" (жирный шрифт мой - mihaild).
Если Вы утверждаете, что это я всё забыл, то укажите, пожалуйста, где хоть у Владимирова, хоть в каком-то из упомянутых выше учебников по функану упомянуто пространство функций (не обобщенных) медленного/умеренного роста.

[pppppppo_98]

mihaild в сообщении #1669364 писал(а):

Не так то, что пространство Шварца - это пространство быстро убывающих функций (любая производная убывает быстрее любого многочлена), Богачев-Смолянов, с. 450 в издании 2009 г.

(Оффтоп)

Вот это кто писал Александр Сергеевич Пушкин или Вы? Все с вами разговор в данной ветке мною окончен.

[Combat Zone]

pppppppo_98
Тогда и начинать не стоило.
Теперь что не так?

[skobar]

(mihaild)

mihaild в сообщении #1669885 писал(а):

по функану экзамен всё же сдал

Хелемский лекции читал?

[mihaild]

pppppppo_98 в сообщении #1669886 писал(а):

Вот это кто писал Александр Сергеевич Пушкин или Вы?

Это я писал. И всё еще продолжаю так утверждать.

Вложение:

Screenshot_20250114_015408.png [ 55.94 Кб | Просмотров: 0 ]

Правда найти книгу, где вообще использовалось бы название "пространство Шварца", на удивление сложно. Но вот у Хелемского

Вложение:

Screenshot_20250114_020743.png [ 87.5 Кб | Просмотров: 0 ]

У Бородина

Вложение:

Screenshot_20250114_021112.png [ 53.51 Кб | Просмотров: 0 ]

Жду от Вас либо извинений, либо хоть одного источника, где пространством Шварца называется именно пространство обобщенных функций.

pppppppo_98 в сообщении #1669341 писал(а):

Ну дык в том и дело что начинаю я с пространства функций медленного роста с ограниченной энергии - это физическая база. А полное построанство квадратично интегрируемых функция - это математическая абстракция (обобщение) над ним

Ну и, если пошла такая пьянка, хотелось бы посмотреть на определение квадратичной нормы на функциях медленного роста.

(Оффтоп)

skobar в сообщении #1669893 писал(а):

Хелемский лекции читал?

Смолянов, а что?

[drzewo]

Задача. Доказать, что $\delta$-функция не является непрерывным линейным функционалом на $\mathcal S(\mathbb{R})$ относительно $L^2$-нормы.

[Red_Herring]

pppppppo_98 в сообщении #1669360 писал(а):

чо не таук то - ппрорстранстьво шварца - медленно растущих со всеми производными функции

это что-то новое. Есть пространство $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ пространство быстро убывающих со всеми производными функций (естественная топология задается с помощью с счетного числа полунорм) и пространство $\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$ линейных форм на нем--пространство медленно растущих обобщенных функций. Причем медленно растущих в очень специфическом смысле. Например $e^{x^8} e^{ie^{x^2}}$ ему принадлежит.

При этом любые математики, заинтересованные не только в теории ЛТП, говорят о сходимости последовательностей в $\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$ и избегают обсуждения топологии. Можно, конечно, вводить другие пространства, но тогда их надо называть как-то по другому.

[Red_Herring]

mihaild в сообщении #1669364 писал(а):

Не так то, что пространство Шварца - это пространство быстро убывающих функций (любая производная убывает быстрее любого многочлена), Богачев-Смолянов, с. 450 в издании 2009 г.

Я, конечно, понимаю, что здесь имеется в виду, но если так действительно написано в учебнике, то

[mihaild]

Red_Herring в сообщении #1669997 писал(а):

Я, конечно, понимаю, что здесь имеется в виду, но если так действительно написано в учебнике, то

Вы про то, что "убывает быстрее, чем единица делить на любой многочлен"?
(в учебнике вообще формула, а не словами)

[Red_Herring]

mihaild сообщении #1669998 писал(а):

Вы про то, что "убывает быстрее, чем единица делить на любой многочлен"?

Но в Вашей цитате "единица деленная на" корова съела

[mihaild]

Red_Herring в сообщении #1670002 писал(а):

Но в Вашей цитате "единица деленная на" корова съела

Ну это не очень хороший, но довольно часто встречающийся жаргонизм - отождествлять $f$ и $\frac{1}{f}$ в асимптотике в случае, когда из контекста понятно, у нас предел ноль или бесконечность.

[skobar]

В ответ на уделенный пост drzewo о введении "естественной" топологии в $\mathcal D (\mathbb{R})$, хотел заметить, что набор полунорм, задающий топологию и здесь может быть выписан в явном виде, без использования индуктивного предела пространств. Число полунорм будет несчетно, и метризуемости уже не будет.

Пусть $K_{0}=\emptyset$, $K_{n}=\{x\in \mathbb{R}: |x|\leq n\}$ для натуральных $n$. Для каждой последовательности $s$ целых неотрицательных чисел $N_{1}$, $N_{2}$, $N_{3}$ ... определим

$$p_{s} (\varphi)=\sum_{k=1}^{\infty} N_{k} \sup_{x\in K_{k} \setminus K_{k-1} , |l|\leq N_{k}} | \varphi ^{(l)} (x)|, \hspace {1cm}\varphi \in \mathcal D (\mathbb{R})$$

Понятно, что для каждой последовательности $s$ и каждой $\varphi \in \mathcal D (\mathbb{R})$ сумма будет конечной. Данный набор полунорм и определит естественную топологию на $\mathcal D (\mathbb{R})$
Зачет за столь мастерскую нетривиальную конструкцию идет Кириллову и Гвишиани :)

[drzewo]

skobar в сообщении #1670009 писал(а):

Зачет за столь мастерскую нетривиальную конструкцию идет Кириллову и Гвишиани :)

Лорану Шварцу скорее. У Эдвардса выписываются полунормы со ссылкой на Шварца.

-- 14.01.2025, 21:34 --

skobar в сообщении #1670009 писал(а):

В ответ на уделенный пост drzewo о введении "естественной" топологии в $\mathcal D (\mathbb{R})$, хотел заметить, что набор полунорм, задающий топологию и здесь может быть выписан в явном виде, без использования индуктивного предела пространств.

не уверен, что это удобней чем индуктивный предел и теоремы об индуктивном пределе

skobar в сообщении #1670009 писал(а):

Число полунорм будет несчетно, и метризуемости уже не будет.

метризуемости не будет, но по другой причине:)

-- 14.01.2025, 21:37 --

в том смысле, что сперва надо доказать, что нельзя эквивалентным образом задать топологию счетным числом полунорм.

-- 14.01.2025, 21:38 --

Я бы для доказательства неметризуемости $\mathscr D$ использовал теорему Бэра о категориях