Разные функциональные пространства и нормы на них

[pppppppo_98]

Ende
Выделено из темы
«Является фундаментальной, но не сходящейся»

skobar в сообщении #1669152 писал(а):

то в определенном смысле (допуская вольность речи) можно сказать, что введенная норма "неправильная" или "чуждая" для нашего пространства.

ну это тоже несколько не правильная формулировка - пространство $\mathcal{L}_2(\mathbb{R})$, строится на базисе пространства Шварца быстроубывающих функций $\mathcal{S}(\mathbb{R})$, с квадратичной нормой. И как -то я не вижу на пространстве Шварца, какую-то более "естественную" норму. Пространство Шварца - совершенно естественное пространство для физики. В любой технической система после некоторого возмущения так или иначе возникнет релаксация по экспотенциальному закону. Энергия же это квадрат поля (по крайне мере в электромагнитных системах).

[drzewo]

pppppppo_98 в сообщении #1669162 писал(а):

пространство $\mathcal{L}_2(\mathbb{R})$,

Если Вы имеете в виду $L^2(\mathbb{R})$ то это пространство можно совершенно спокойно получить и не ссылаясь на пространство $\mathcal S$.

pppppppo_98 в сообщении #1669162 писал(а):

И как -то я не вижу на пространстве Шварца, какую-то более "естественную" норму.

Стандартная топология в этом пространстве вводится с помощью семейства полунорм, которые превращают его в пространство Фреше

[skobar]

pppppppo_98 в сообщении #1669162 писал(а):

пространство $\mathcal{L}_2(\mathbb{R})$

Поясните, $\mathcal{L}_2(\mathbb{R})$ - это то же самое, что и $L^2(\mathbb{R})$, или это что-то другое?

[skobar]

pppppppo_98 в сообщении #1669162 писал(а):

пространство $\mathcal{L}_2(\mathbb{R})$, строится на базисе пространства Шварца быстроубывающих функций $\mathcal{S}(\mathbb{R})$, с квадратичной нормой. И как -то я не вижу на пространстве Шварца, какую-то более "естественную" норму. Пространство Шварца - совершенно естественное пространство для физики

Независимо от того, что имеется ввиду под $\mathcal{L}_2(\mathbb{R})$, ещё один вопрос. У нас речь идет о введении "правильных" или "неправильных" норм на каком-то линейном пространстве. Вы начинаете с $\mathcal{L}_2(\mathbb{R})$, что как бы предполагает, что норму вы будете вводить именно на этом пространстве. Но затем вы говорите о "естественной норме" на совсем другом пространстве $\mathcal{S}(\mathbb{R})$. Уточните, вы все-таки вводите норму на $\mathcal{L}_2(\mathbb{R})$ или на $\mathcal{S}(\mathbb{R})$?

[drzewo]

skobar в сообщении #1669169 писал(а):

Уточните, вы все-таки вводите норму на $\mathcal{L}_2(\mathbb{R})$ или на $\mathcal{S}(\mathbb{R})$?

Я полагаю, что pppppppo_98 хотел напомнить, что пополнение $\mathcal {S}(\mathbb{R})$ по норме $\|\cdot\|_{L^2(\mathbb{R})}$ изометрически изоморфно $L^2(\mathbb{R})$

[skobar]

drzewo в сообщении #1669197 писал(а):

Я полагаю, что pppppppo_98 хотел напомнить, что пополнение $\mathcal {S}(\mathbb{R})$ по норме $\|\cdot\|_{L^2(\mathbb{R})}$ изометрически изоморфно $L^2(\mathbb{R})$

Я понимаю это, но это довольно странный способ (хотя формально правильный) вводить норму на $L^2(\mathbb{R})$ в то время как можно просто записать явную очевидную формулу для нормы через интеграл Лебега. Поэтому все-таки хотелось бы уточнения от pppppppo_98.

-- 09.01.2025, 17:04 --

Потом дальше pppppppo_98 прыгает с пространства $L^2(\mathbb{R})$ на как бы вспомогательное пространство $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ и говорит о "естественной норме" на нем. Получается, что теперь мы говорим о вводе нормы на $\mathcal{S}(\mathbb{R})$. Для чего тогда было вообще упоминать $L^2(\mathbb{R})$? Это вносит ещё большую путаницу в понимание того, какую мысль pppppppo_98 пытается выразить.

ЗЫ Я понимаю, что drzewo написал про ввод топологии на $\mathcal{S}(\mathbb{R})$. Ввести "правильную" норму на нем у нас не получится, самое лучшее, что можно сделать - это использовать стандартную систему полунорм и превратить его в метризуемое полное линейное локально выпуклое топологическое пространство (пространство Фреше)

[drzewo]

skobar в сообщении #1669218 писал(а):

Я понимаю это, но это довольно странный способ (хотя формально правильный) вводить норму на $L^2(\mathbb{R})$

Это не способ вводить норму в $L^2(\mathbb{R})$, это способ вводить $L^2(\mathbb{R})$, что и было сказано:

pppppppo_98 в сообщении #1669162 писал(а):

пространство $\mathcal{L}_2(\mathbb{R})$, строится на базисе пространства Шварца быстроубывающих функций $\mathcal{S}(\mathbb{R})$, с квадратичной нормой.

[skobar]

drzewo в сообщении #1669223 писал(а):

Это не способ вводить норму в $L^2(\mathbb{R})$, это способ вводить $L^2(\mathbb{R})$

Тогда какое это вообще имеет отношение к обсуждаемой теме? Речь ведь шла не о введении пространств, а о введении различных норм на уже данном пространстве.

-- 09.01.2025, 18:17 --

Разумеется, можно рассмотреть $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ с квадратичной нормой и взять пополнение этого пространства, получив $L^2(\mathbb{R})$. Но делает ли это квадратичную норму "естественной" для $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ как утверждает pppppppo_98? На мой взгляд, очевидно, нет. Это делает квадратичную норму "естественной" для $L^2(\mathbb{R})$, но не для $\mathcal{S}(\mathbb{R})$.

[pppppppo_98]

skobar в сообщении #1669164 писал(а):

Поясните, $\mathcal{L}_2(\mathbb{R})$ - это то же самое, что и $L^2(\mathbb{R})$, или это что-то другое?

ну да квадратично интегрируемых функций на локально компакном пространстве (в данном случае скажем числовая прямая)

skobar в сообщении #1669169 писал(а):

Вы начинаете с $\mathcal{L}_2(\mathbb{R})$, что как бы предполагает, что норму вы будете вводить именно на этом пространстве.

Ну дык в том и дело что начинаю я с пространства функций медленного роста с ограниченной энергии - это физическая база. А полное построанство квадратично интегрируемых функция - это математическая абстракция (обобщение) над ним. Если мне склероз не изменяет то во Владимрове точно такое же индуктивное построение.

[drzewo]

pppppppo_98 в сообщении #1669341 писал(а):

ну да квадратично интегрируемых функций на локально компакном пространстве

не надо путать $\mathcal L^2$ с $L^2$. У Вас $L^2$

-- 10.01.2025, 13:48 --

pppppppo_98 в сообщении #1669341 писал(а):

пространства функций медленного роста

[skobar]

pppppppo_98
Есть такое полезное математическое понятие - "пополнение" (неполного) метрического пространства. Употреби бы вы этот термин, все сразу было бы понятно.

Главный вопрос остается:

skobar в сообщении #1669225 писал(а):

Разумеется, можно рассмотреть $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ с квадратичной нормой и взять пополнение этого пространства, получив $L^2(\mathbb{R})$. Но делает ли это квадратичную норму "естественной" для $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ как утверждает pppppppo_98? На мой взгляд, очевидно, нет. Это делает квадратичную норму "естественной" для $L^2(\mathbb{R})$, но не для $\mathcal{S}(\mathbb{R})$.

[mihaild]

drzewo в сообщении #1669346 писал(а):

не надо путать $\mathcal L^2$ с $L^2$

Присоединяюсь к вопросу

skobar в сообщении #1669164 писал(а):

$\mathcal{L}_2(\mathbb{R})$ - это то же самое, что и $L^2(\mathbb{R})$, или это что-то другое?

(ИМХО в любом случае, иметь разные обозначения с таким похожим написанием это вредительство)

[pppppppo_98]

skobar в сообщении #1669218 писал(а):

Получается, что теперь мы говорим о вводе нормы на $\mathcal{S}(\mathbb{R})$

вы говорите о естественной норме. Ну дык я вам и говорю, что для плотного подпространства медленно растущих функций в полном пространстве квадратичных функций естественна таже квадратичная норма - ибо это есть физическая практика. А если взять квантовую механику - там вообще пруд пруди таких примеров неограниченных линейных дифференциальных операторов, которой определены на плотном подпространстве пространства квадратично интгерируемых функций.

-- Пт янв 10, 2025 13:57:57 --

drzewo в сообщении #1669346 писал(а):

не надо путать $\mathcal L^2$ с $L^2$. У Вас $L^2$

Есть 100500 учебников, с 100500 шрифтами и обозначениями

[drzewo]

pppppppo_98 в сообщении #1669351 писал(а):

Есть 100500 учебников, с 100500 шрифтами и обозначениями

Не надо ля-ля. $\mathcal L^2$ это пространство измеримых функций с суммируемым квадратом, $L^2$ -- результат факторизации первого по соответствующей полунорме

-- 10.01.2025, 14:07 --

pppppppo_98 в сообщении #1669351 писал(а):

медленно растущих функций

чушь хватит уже нести

[pppppppo_98]

drzewo в сообщении #1669354 писал(а):

Не надо ля-ля. $\mathcal L^2$ это пространство измеримых функций с суммируемым квадратом, $L^2$ -- результат факторизации первого по соответствующей полунорме

не надо на умняка садиться...По делу есть что сказать - или только обозначения обсуждать будете...