Сходимость функционалов (слабая и по норме) в C[-1,1]

[икс и грек]

Дана последовательность функционалов на $C[-1,1] : F_n(f)=\frac{n}{2} \int_{-1/n}^{1/n} f(x)dx$ Нужно исследовать её на сходимость по норме и слабую сходимость к $F(f)=f(0)$. У меня получилось, что норма разности $||F_n-F||$ не больше двух, но не могу понять на какой функции она достигается(или она вообще меньше двух). И как исследовать на слабую сходимость?

[Brukvalub]

икс и грек в сообщении #166869 писал(а):

И как исследовать на слабую сходимость?

А как связаны слабая сходимость и сходимость по норме?

[икс и грек]

из сходимости по норме следует слабая.

[Really]

икс и грек в сообщении #166869 писал(а):

что норма разности $||F_n-F||$ не больше двух, но не могу понять на какой функции она достигается(или она вообще меньше двух).

И к чему вам такая оценка? К тому же она неверна...

Слабая сходимость тут будет. Надо показать, что $\forall f\ |F_nf-Ff|\to 0$.
Оценивается элементарно.
Равномерной не будет. Достаточно привести контр-пример.

[икс и грек]

Really писал(а):

икс и грек в сообщении #166869 писал(а):

что норма разности $||F_n-F||$ не больше двух, но не могу понять на какой функции она достигается(или она вообще меньше двух).

И к чему вам такая оценка? К тому же она неверна...

Слабая сходимость тут будет. Надо показать, что $\forall f\ |F_nf-Ff|\to 0$.
Оценивается элементарно.
Равномерной не будет. Достаточно привести контр-пример.

Разве $\forall f\ |F_nf-Ff|\to 0$ - это не *-слабая сходимость?

[AD]

Цитата:

Разве $\forall f\ |F_nf-Ff|\to 0$ - это не *-слабая сходимость?

Она самая. Да, вы правы.

Но иногда в задачах почему-то подразумевают под "слабой сходимостью" именно *-слабую, и мы тут как-то уже к этому привыкли. Вы подтверждаете, что именно слабую-без-звездочки надо проверить, да?

[икс и грек]

AD писал(а):

Цитата:

Разве $\forall f\ |F_nf-Ff|\to 0$ - это не *-слабая сходимость?

Она самая. Да, вы правы.

Но иногда в задачах почему-то подразумевают под "слабой сходимостью" именно *-слабую, и мы тут как-то уже к этому привыкли. Вы подтверждаете, что именно слабую-без-звездочки надо проверить, да?

На *-слабую я проверил, осталось слабая и по норме.

[Brukvalub]

Скажите, Вы можете придумать последовательность

\[ f_n (x) \]

непрерывных на отрезке [-1 ; 1] функций, каждая из которых равна 0 в 0, ее модуль не превосходит на этом отрезке 1, и на отрезке

\[ [ - \frac{1}{n}\;;\;\frac{1}{n}\;]\]

интеграл от n-ой функции не меньше числа

\[ \frac{2}{n}(1 - \frac{1}{n}) \]

. Если Вам удастся построить такую последовательность, то она обеспечит контрпример к сходимости о норме.

[икс и грек]

Со сходимостью по норме разобрался - её нет. Осталась слабая. Я так понимаю, нужно доказать, что $\forall \phi \in C^{**}[-1,1]$ $\phi (F_n(f)) \rightarrow \phi (F(f))$, где $F(f)=f(0)$. Возможно надо использовать факт вложения $C[-1,1]$ в $C^{**}[-1,1]$. Помогите.