2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Сходимость функционалов (слабая и по норме) в C[-1,1]
Сообщение11.12.2008, 22:28 
Дана последовательность функционалов на $C[-1,1] : F_n(f)=\frac{n}{2} \int_{-1/n}^{1/n} f(x)dx$ Нужно исследовать её на сходимость по норме и слабую сходимость к $F(f)=f(0)$. У меня получилось, что норма разности $||F_n-F||$ не больше двух, но не могу понять на какой функции она достигается(или она вообще меньше двух). И как исследовать на слабую сходимость?

 
 
 
 
Сообщение12.12.2008, 00:30 
Аватара пользователя
икс и грек в сообщении #166869 писал(а):
И как исследовать на слабую сходимость?
А как связаны слабая сходимость и сходимость по норме?

 
 
 
 
Сообщение12.12.2008, 00:41 
из сходимости по норме следует слабая.

 
 
 
 
Сообщение12.12.2008, 02:21 
икс и грек в сообщении #166869 писал(а):
что норма разности $||F_n-F||$ не больше двух, но не могу понять на какой функции она достигается(или она вообще меньше двух).


И к чему вам такая оценка? К тому же она неверна...

Слабая сходимость тут будет. Надо показать, что $\forall f\  |F_nf-Ff|\to 0$.
Оценивается элементарно.
Равномерной не будет. Достаточно привести контр-пример.

 
 
 
 
Сообщение12.12.2008, 11:24 
Really писал(а):
икс и грек в сообщении #166869 писал(а):
что норма разности $||F_n-F||$ не больше двух, но не могу понять на какой функции она достигается(или она вообще меньше двух).


И к чему вам такая оценка? К тому же она неверна...

Слабая сходимость тут будет. Надо показать, что $\forall f\  |F_nf-Ff|\to 0$.
Оценивается элементарно.
Равномерной не будет. Достаточно привести контр-пример.


Разве $\forall f\  |F_nf-Ff|\to 0$ - это не *-слабая сходимость?

 
 
 
 
Сообщение12.12.2008, 11:32 
Цитата:
Разве $\forall f\  |F_nf-Ff|\to 0$ - это не *-слабая сходимость?
Она самая. Да, вы правы.

Но иногда в задачах почему-то подразумевают под "слабой сходимостью" именно *-слабую, и мы тут как-то уже к этому привыкли. Вы подтверждаете, что именно слабую-без-звездочки надо проверить, да?

 
 
 
 
Сообщение12.12.2008, 11:47 
AD писал(а):
Цитата:
Разве $\forall f\  |F_nf-Ff|\to 0$ - это не *-слабая сходимость?
Она самая. Да, вы правы.

Но иногда в задачах почему-то подразумевают под "слабой сходимостью" именно *-слабую, и мы тут как-то уже к этому привыкли. Вы подтверждаете, что именно слабую-без-звездочки надо проверить, да?

На *-слабую я проверил, осталось слабая и по норме.

 
 
 
 
Сообщение12.12.2008, 12:18 
Аватара пользователя
Скажите, Вы можете придумать последовательность \[
f_n (x)
\]непрерывных на отрезке [-1 ; 1] функций, каждая из которых равна 0 в 0, ее модуль не превосходит на этом отрезке 1, и на отрезке\[
[ - \frac{1}{n}\;;\;\frac{1}{n}\;]\] интеграл от n-ой функции не меньше числа \[
\frac{2}{n}(1 - \frac{1}{n})
\]. Если Вам удастся построить такую последовательность, то она обеспечит контрпример к сходимости о норме.

 
 
 
 
Сообщение25.12.2008, 18:41 
Со сходимостью по норме разобрался - её нет. Осталась слабая. Я так понимаю, нужно доказать, что $\forall \phi \in C^{**}[-1,1]$ $\phi (F_n(f)) \rightarrow \phi (F(f))$, где $F(f)=f(0)$. Возможно надо использовать факт вложения $C[-1,1]$ в $C^{**}[-1,1]$. Помогите.

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group