Мяч для гольфа

[Ayanokoji]

Мячи для гольфа, как известно, покрыты вмятинами. Допустим радиус мяча $R=1.5~\text{см}$, а радиус вмятины $r= 0.15~\text{см}$. Задача состоит в оценки сверху максимального количества вмятин, которые могут располагаться на мяче. Причем намекается, что их должно быть $<100$.

Самая грубая оценка --- отношение площади поверхности сферы к площади вмятины, дает $n<400$. Это видимо слишком грубо.
Еще вариант --- разбить сферу на полоски толщины $2r$. В этом случае у меня получилось разместить $n=233$ (еще на полюсах место осталось) вмятины. То есть этот намек на $n<100$ может быть неправильный просто, но может и я как-то неправильно со сферической поверхностью работаю.

Остальные варианты какие-то слишком муторные, например, с привлечением сферической тригонометрии.

[dgwuqtj]

Из строгих рассуждений только оценка через площади и есть. Дальше уже задача об упаковке шаров в сферической геометрии, там нет каких-то простых общих результатов, в основном перебор с компьютерными вычислениями.

[sergey zhukov]

Ayanokoji
Можно посмотреть какие-нибудь регулярные разбиения сферы.

Скажем, у пентагонального гексеконтаэдра 60 одинаковых граней, причем отношение радиуса вписанного (по ребрам) в многогранник шара к радиусу вписанной в его грань окружности равно примерно $3,59/0,83=4,3$. Т.е. для отношения радиусов 4,3 хорошей оценкой было бы 60.

Можно вписать в каждую грань по два круга радиусом как минимум вдвое меньшим и получить оценку 120 для отношения 8,6. Для отношения 10 оценка должна быть еще больше. Т.е. $<100$ выглядит неверным.

[Ayanokoji]

sergey zhukov
Хорошая идея, спасибо.

[sergey zhukov]

Ayanokoji
Компьютер размещает на поверхности шара максимум примерно 260 кругов, если отношение радиуса шара к радиусу круга равно 10.

Оценка сверху через площади слишком грубая. Лучше взять в качестве верхней оценки плотнейшую упаковку кругов на плоскости. Ясно, что на сфере и до этого не дойдет.

Кстати, вот еще вопрос: что нужно размещать на поверхности без самопересечений: плоские круги или шарообразные лунки?

[Ayanokoji]

sergey zhukov в сообщении #1669188 писал(а):

Компьютер размещает на поверхности шара максимум примерно 260 кругов, если отношение радиуса шара к радиусу круга равно 10.

Интересно, Вы сами программу написали или есть готовые?

sergey zhukov в сообщении #1669188 писал(а):

Кстати, вот еще вопрос: что нужно размещать на поверхности без самопересечений: плоские круги или шарообразные лунки?

Хм, вообще говоря лунки, но я подумал это эквивалентно кругам. А теперь кажется как-будто нет, тяжело представить.

[Ayanokoji]

Ayanokoji в сообщении #1669202 писал(а):

я подумал это эквивалентно кругам.

Не эквивалентно. Могут внутри пересечься. Это видимо снизит максимум, может так и <100 получится, попробую.

[EUgeneUS]

Ayanokoji в сообщении #1669232 писал(а):

Могут внутри пересечься. Это видимо снизит максимум, может так и <100 получится, попробую.

Ayanokoji в сообщении #1669076 писал(а):

Допустим радиус мяча $R=1.5~\text{см}$, а радиус вмятины $r= 0.15~\text{см}$.

У Вас в задаче параметра не хватает.

Как делается "вмятина": берем шар, радиуса $r_0$ и вдавливаем его на некоторую глубины в исходный шар, пока граница пересечения (а это окружность) не будет иметь радиус $r_1$.
И что у Вас в условии понимается под "радиусом вмятины $r$"?

[sergey zhukov]

Ayanokoji
Ну, я тот еще программист. В екселе написал небольшой расчет. Вот как он работает:

Это вид сферы единичного радиуса "сверху" и "снизу". Помещаем на сферу как-нибудь 280 точек (в данном случае я их все поместил рядом с "верхним" полюсом) и заставляем алгоритм отталкивать их друг от друга (алгоритм минимизирует сумму вида $\sum\limits_{i=1}^{alldistance}\frac{1}{S_i^2}$, т.е. сумму обратных квадратов расстояний (в трехмерном пространстве) между всеми парами точек). Следим за минимальным расстоянием (деленным на два) между любыми двумя точками (оно постоянно выводится сверху). Когда процесс сходится, это и будет максимальный радиус окружности, которую можно описать вокруг каждой точки (как вокруг центра) без пересечения окружностей. Как видим, это примерно 0,1 (дальше практически не увеличивается). Считаем, что этот алгоритм дает оптимальное решение.


Только выше я ошибся. Не 260 а 280 кругов можно разместить.

Чтобы заниматься задачей с лунками, нужно решить, на какую глубину мы хотим их вдавить, как тут выше EUgeneUS заметил правильно.

[Ayanokoji]

EUgeneUS
Я себе вмятины представлял как полусферы радиуса $r$, которые "крепятся" на внутреннюю поверхность сферы.

[EUgeneUS]

Ayanokoji в сообщении #1669238 писал(а):

Я себе вмятины представлял как полусферы радиуса $r$, которые "крепятся" на внутреннюю поверхность сферы.

Полусферы, размещенные внутрь на сфере, обязательно пересекутся. (Кстати, на мяче для гольфа вроде бы не полусферы).
Но! Это всё сводится к задаче о размещении на сфере касающихся окружностей. Но на сфере меньшего радиуса.
Для этого достаточно рассмотреть плоскость сечения $O_0 O_1 O_2$, где
$O_0$ - центр шарика для гольфа.
$O_1, O_2$ - центры полусфер, у которых расстояние между центрами минимальное среди всех пар полусфер.

[Ayanokoji]

sergey zhukov
Спасибо! А как Вы задавали условие, чтобы все точки оставались на сфере? А если я касательный круг в каждой точки спроектирую на сферу, то это улучшит или ухудшит результат?

-- 09.01.2025, 19:54 --

EUgeneUS в сообщении #1669240 писал(а):

Полусферы, размещенные внутрь на сфере, обязательно пересекутся.

Почему же обязательно? Я легко себе представляю случаи, когда они достаточно маленькие и их достаточно мало, чтобы не пересеклись. Про плоскость сечения, простите, не понял.

[sergey zhukov]

Ayanokoji
Задача с лунками сводится к задаче с плоскими кругами.

Можно представлять себе еще такую задачу: на поверхности большого шара радиуса $R$ нужно разместить как можно больше шаров малого радиуса $r$ (ну понятно, чтобы малые шары касались поверхности большого):

Понятно, что все точки касания малых шаров друг с другом (если такие есть) будут лежать на некоторой поверхности сферы (черная), на которой и решается задача с плоскими кругами. Эта "сфера касания" будет проходить несколько ниже сферы, по которой вы предлагаете делать лунки (красная). Поэтому нужно просто определить радиус сферы касания и радиус сечения этой сферой малого шара, и решать с этим данными задачу про плоские круги. EUgeneUS уже выше это сказал.

[EUgeneUS]

Ayanokoji в сообщении #1669241 писал(а):

Почему же обязательно?

Имелось в виду - полусферы, у которых соприкасаются границы. Сорри, сразу это не отметил.

[sergey zhukov]

Ayanokoji
Координаты точек сферические. Просто установлен постоянный радиус для всех точек, им некуда деваться. Они только по сфере могут бегать в любом случае.

Этот расчет вычисляет расстояние между парами точек (черные) в трехмерном пространстве и берет его половину в качестве радиуса ($B$):

Истинный радиус круга равен $A$ (красные линии - два касающихся круга на сфере, вид "с ребра"), причем так получается, что $A$ всегда равно $B$. Можно еще брать в качестве радиуса расстояние вдоль сферической поверхности (синее), но я не стал так делать.

Не очень понятно, что значит "касательный круг в каждой точке спроектирую на сферу". В расчете нет касательных кругов.