Квадратные неквадраты

[Утундрий]

Среди всех квадратных 2х2 матриц с комплексными элементами найдите такие, из которых нельзя извлечь квадратный корень.

[Null]

Матрицы с ЖНФ вида

$$\begin{pmatrix} x & y \\ 0 & x \\ \end{pmatrix}$$

Где $y^2\neq 4x$?
Нужно более простое описание?

[Red_Herring]

$\begin{pmatrix} 1 &b\\ 0 &1 \end{pmatrix}^2= \begin{pmatrix} 1 &2b\\ 0 &1 \end{pmatrix}^2$
т.е. из матриц такого вида квадратный корень извлечь можно для любого внедиагонального элемента. Соответственно, если на диагонали стоит любое отличное от $0$ число.

Мой ответ: $2\times 2$ матрица не имеет квадратного корня, т. и т.т. когда ее ранг $1$.

Действительно, если ранг 2, то в ЖНФ будет
$\begin{pmatrix} x &b\\ 0 &y \end{pmatrix}$. Возьмем $\begin{pmatrix} \sqrt{x} &c\\ 0 &\sqrt{y} \end{pmatrix}$, где $\sqrt{x}+\sqrt{y}\ne 0$, и найдем $c$.

[Утундрий]

Мой ответ использует инварианты.

[nnosipov]

Red_Herring в сообщении #1668702 писал(а):

$2\times 2$ матрица не имеет квадратного корня, т. и т.т. когда ее ранг $1$.

А как же матрица [[0,0],[0,1]]? Ее ранг равен 1 и она является квадратом самой себя.

[Null]

Red_Herring в сообщении #1668702 писал(а):

Мой ответ: $2\times 2$ матрица не имеет квадратного корня, т. и т.т. когда ее ранг $1$.

$$\begin{pmatrix} 1 &1\\ 0 &0 \end{pmatrix}^2= \begin{pmatrix} 1 &1\\ 0 &0 \end{pmatrix}^2$$

[Red_Herring]

nnosipov в сообщении #1668707 писал(а):

А как же матрица [[0,0],[0,1]]?

Да, конечно. Я как-то не рассмотрел внимательно ранг 1. В этом случае если в точности одно с.з. 0, то матрица имеет квадратный корень. Т.е. правильный ответ: оба с.з. 0, но матрица ненулевая.

Самое смешное, что из моего рассуждения это следует: мы можем выбрать квадратные корни чтобы их сумма была отлична от $0$. Поспешишь--людей насмешишь!

Голосом модератора: Исправьте формулы или тема отправится в П...й!

[nnosipov]

Над полем $\mathbb{C}$ задача сводится к извлечению квадратного корня из жордановых клеток. Что, наверное, известно для любых размеров клеток.

[Red_Herring]

nnosipov в сообщении #1668712 писал(а):

Над полем $\mathbb{C}$ задача сводится к извлечению квадратного корня из жордановых клеток. Что, наверное, известно для любых размеров клеток.

Естественно. Если размер клетки $>1$, то корень извлекается т. и т.т. когда с.з. отлично от $0$. Это легко доказать алгебраически, а можно через
$\sqrt{A}=\frac{1}{2\pi i} \int_\Gamma \sqrt{z}(z-A)^{-1}\,dz$, где контур обходит вокруг спектра, но не $0$.

[Утундрий]

Так как же выглядят все неквадраты среди 2х2 матриц?

Или, наверное это проще, как по заданной 2х2 матрице понять — квадрат она или не квадрат?

[Red_Herring]

Утундрий в сообщении #1668786 писал(а):

Или, наверное это проще, как по заданной 2х2 матрице понять — квадрат она или не квадрат?

Когда она неквадрат? Если оба с.з. 0 (т.е. и определитель и след 0), но сама она не 0. Например $\begin{pmatrix} 1 &1 \\ -1 &-1 \end{pmatrix}$. Иначе квадрат. И к тому же куб.

[Утундрий]

Подытожим.

Матрица 2х2 — неквадрат $\Leftrightarrow$ транспортированием и домножением на ненулевой множитель её можно привести к виду

$$\begin{pmatrix} x &1 \\ -x^2 &-x \end{pmatrix}$$

с произвольным $x$.