Снова 2025

[Edward_Tur]

$(20+25)^2=2025$.
Доказать, что существует бесконечно много пар натуральных чисел $\overline{A}$ и $\overline{B}$ таких, что $(\overline{A}+\overline{B})^2=\overline{AB}$.

[nnosipov]

Здесь надо как-то ограничить, иначе есть тривиальное решение, когда одно из чисел равно $1$.

Впрочем, можно взять одним из чисел $25 \cdot 10^{2k}$, где $k=0,1,2,\dots$

[ИСН]

$$ \begin{aligned}(30+25)^2 &=3025\\ (2550+2500)^2&=25502500\\ (250500+250000)^2&=250500250000\\ ... \end{aligned} $$

В другую сторону тоже работает:

$$ \begin{aligned}(20+25)^2 &=2025\\ (2450+2500)^2&=24502500\\ (249500+250000)^2&=249500250000\\ ... \end{aligned} $$

[nnosipov]

Они там парами ходят, квадратное уравнение все-таки. Типа $(30+25)^2=3025$.

[ИСН]

Парами они, конечно, тоже ходят, но на парах далеко не упрыгать, потому что цепочка сбивается при вылезании в другой разряд.
(88, 209)
(494, 209)
(494, 1729)
(6048, 1729)
и упс.

[EUgeneUS]

$B_i = (\frac{10^i}{2})^2$
$A_i = (\frac{10^i}{2})^2 \pm (\frac{10^i}{2})$
$i \in \mathbb{N}$