2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Снова 2025
Сообщение04.01.2025, 15:07 
$(20+25)^2=2025$.
Доказать, что существует бесконечно много пар натуральных чисел $\overline{A}$ и $\overline{B}$ таких, что $(\overline{A}+\overline{B})^2=\overline{AB}$.

 
 
 
 Re: Снова 2025
Сообщение04.01.2025, 15:35 
Здесь надо как-то ограничить, иначе есть тривиальное решение, когда одно из чисел равно $1$.

Впрочем, можно взять одним из чисел $25 \cdot 10^{2k}$, где $k=0,1,2,\dots$

 
 
 
 Re: Снова 2025
Сообщение04.01.2025, 15:49 
Аватара пользователя
$$
\begin{aligned}(30+25)^2 &=3025\\
(2550+2500)^2&=25502500\\
(250500+250000)^2&=250500250000\\
...
\end{aligned}
$$

В другую сторону тоже работает:
$$
\begin{aligned}(20+25)^2 &=2025\\
(2450+2500)^2&=24502500\\
(249500+250000)^2&=249500250000\\
...
\end{aligned}
$$

 
 
 
 Re: Снова 2025
Сообщение04.01.2025, 15:52 
Они там парами ходят, квадратное уравнение все-таки. Типа $(30+25)^2=3025$.

 
 
 
 Re: Снова 2025
Сообщение04.01.2025, 16:11 
Аватара пользователя
Парами они, конечно, тоже ходят, но на парах далеко не упрыгать, потому что цепочка сбивается при вылезании в другой разряд.
(88, 209)
(494, 209)
(494, 1729)
(6048, 1729)
и упс.

 
 
 
 Re: Снова 2025
Сообщение04.01.2025, 20:03 
Аватара пользователя
$B_i = (\frac{10^i}{2})^2$
$A_i = (\frac{10^i}{2})^2 \pm (\frac{10^i}{2})$
$i \in \mathbb{N}$

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group