Равенства нулю интеграла

[TelmanStud]

Доброго времени суток всем!
Вопрос в следующем:
Если

$$\int_{0}^{p}f(\xi, p)d\xi=0$$

для любых $p \in [0, +\infty)$, то обязательно ли $f(\xi, p)=0$?
Если так, то как это показать?

[dgwuqtj]

Возьмите $f(\xi, p) = 1$ при $\xi > p$ и $f(\xi, p) = 0$ иначе.

[drzewo]

рассмотрите $f(\xi,p)=a(\xi)+b(p)$

[TelmanStud]

dgwuqtj
Разве Ваш случай является контрпримером? У меня же $p$ в верхнем пределе интегрирования и может принимать сколь угодно большие значения

-- 02.01.2025, 22:58 --

drzewo
Да понял, спасибо. Достаточно взять $a(\xi)=-b(\xi)-\xi b'(\xi)$
А можно, ли что то сказать про вид таких $f(\xi, p)$ в общем случае? Обязательно ли они должны иметь вид, который Вы указали?

[mihaild]

TelmanStud в сообщении #1668260 писал(а):

У меня же $p$ в верхнем пределе интегрирования и может принимать сколь угодно большие значения

Так и $\xi$ тоже. Ваше условие не зависит от поведения функции вне угла $p \geq 0$, $0 \leq \xi \leq p$.

[Евгений Машеров]

Если p - параметр функции и p - верхний предел интегрирования это одно и то же, то данное утверждение неверно.
Контрпример: $f(\xi,p)=\xi-p/2$

[TelmanStud]

mihaild
при предельном $p\to+\infty$ я получу $f(\xi,p)=0$?

-- 02.01.2025, 23:19 --

Евгений Машеров
Да с этим уже разобрался. Ваш пример входит в случай приведенный выше drzewo

[mihaild]

TelmanStud в сообщении #1668267 писал(а):

при предельном $p\to+\infty$ я получу $f(\xi,p)=0$?

Там нет никакого предельного перехода. Просто под прямой $\xi = p$ функция равна нулю, а над ней - чему угодно.

[TelmanStud]

mihaild
Да я понял, спасибо. Просто у меня по самой задаче нет смысла рассматривать $\xi>p$. А в нужном угле, получается нуль. Может у Вас есть идеи про общий вид функции в угле $\xi<p$ ?

[Vince Diesel]

Тут просто условие, что для каждого $p$ среднее функции по $\xi$ на отрезке $[0,p]$ равно нулю, в остальном она произвольна.

[Евгений Машеров]

TelmanStud в сообщении #1668267 писал(а):

Да с этим уже разобрался. Ваш пример входит в случай приведенный выше drzewo

Просто пока набирал - уже ответили...

[TelmanStud]

Евгений Машеров
Так и понял. Спасибо!

-- 03.01.2025, 21:49 --

Vince Diesel
И в правду. А можно ли в этом равенстве избавится от интеграла, и записать это равенство в ином виде

[Vince Diesel]

TelmanStud
Сомневаюсь, что условие равенство среднего нулю выйдет как-то записать без использования интеграла, так или иначе. Можно сказать, например, что нулевой коэффициент ряда Фурье равен нулю, но какой с этого толк.