Теория "колыбели Ньютона"

[sergey zhukov]

Вот так выглядит столкновение одной массивной пружинки с группой из четырех последовательно поставленных других:

На первом рисунке - пружинки стоят с зазорами. На втором - без. Можно видеть, что все пружинки немного передвигаются, т.е. шарики не остаются строго неподвижными.

Вот так выглядит удар двух шариков (тоже с зазорами и без):

Видно, что зазоры делают решение более "идеальным", а "множественные столкновения" приводят к немного другой картинке (близкой, впрочем, к идеальной).

Интересно, что в этой модели склеивание всех промежуточных пружинок не приводит практически ни к каким последствиям. Решение становится даже еще более красивым:

Т.е. в принципе вместо цепи шариков можно подвесить стержень, он будет передавать волну точно так же (только его нужно "согласовать" с входным и выходным шариками).

В модели абсолютно жестких тел удар легкого шарика по тяжелому стержню (только по нему) приводит к отскоку шарика и медленному движению стержня. Если с другой стороны стержня с зазором установлен такой же шарик, то он не отлетит симметрично удару первого шарика, разумеется. Т.е. тут "теория вставки зазоров" (даже бесконечно малых) говорит нам, что склейка всех промежуточных шариков все сломает. Однако если на другом конце стержня такой же шарик был прислонен до удара без зазора, то возникает неопределенность, которую однозначно нельзя разрешить без привлечения теории упругости (множественные столкновения), как тут выше уже правильно говорили. И выясняется, что на самом деле склейка шариков ничего не сломает (это, правда, только на одномерной однородной модели так, а с шариками все посложнее будет).

[wrest]

sergey zhukov
Очень интересно. А что можно регулировать в вашей модели? Можно увеличить жесткость? Или задать разную жесткость у разных пружинок?

[sergey zhukov]

wrest
Да все можно регулировать. Можно разную жесткость у всех пружинок сделать, разную массу, разный коэффициент рассеивания мех. энергии. Можно по разному их сцеплять или не сцеплять. Можно задавать разные скорости, и вообще разные начальные условия.

[Cantata]

Объясните, пожалуйста, в итоге к чему пришли?
Если первый шарик будет тяжелее, например массой 2m, то всё равно отскочит с другой стороны только один шарик, т.к импульс от одного шарика идёт?
Так же будет и с молотком, при его ударе только один шарик отскочит?

[manul91]

Из нечего делать посчитал по школьной классике (ЗСИ плюс ЗСЭ): шарик массой $m$ скоростью $v$ налетает на изначально неподвижную железку $M$ отскакивая, железка получает часть импульса и ударяет другой (изначально неподвижный) шарик $m$, с какой скоростью $u$ отлетит второй шарик.
Получилось $u = \frac{4av}{(a+1)^2}$, где $a = \frac{m}{M}$. При $a$ близком к нулю $u \approx 4av$.
При $a=1$ (железка той же массой, как и налетающий шарик) движение передается точно (налетающий шарик и железка в конце неподвижны); ясно что это можно распространить на любое количество междинных одинаковых шариков $m$ через зазорами.
Т.е. железка массой $10m$ и десять шариков $m$ через зазорами, в случае абсолютно жестких тел очевидно ведут к существенно разной "передаточной" динамики с первого к последнему.

[sergey zhukov]

Cantata
Пришли к тому, что ничего не понятно, нужно на эксперименте выяснять.

[wrest]

Cantata в сообщении #1667761 писал(а):

Если первый шарик будет тяжелее, например массой 2m, то всё равно отскочит с другой стороны только один шарик, т.к импульс от одного шарика идёт?

Нет, после окончания первоначальных столкновений двигаться будут все, с разными скоростями.
Похоже что расчеты sergey zhukov довольно близки к реальному поведению системы. Но надо бы допроверить налетанием трёх и четырёх пружинок в конфигурации с пятью. И поиграться жесткостью, а также потерями.

[manul91]

sergey zhukov
В случае с пружинками (идеальном), после всего взаимодействия - как-то непонятно должна ли остаться часть исходной кинетической энергии налетающей пружинки как внутренней в виде незатухающих упругих колебаний разлетающихся частей; или все в итоге должно остаться "на круги своя", без остаточных внутренных волн...

[sergey zhukov]

manul91
Насколько я вижу, ничего идеального не получается. Часть энергии всегда остается в виде колебаний пружинок. Нужны специальные начальные условия (т.е. все уже должно колебаться до столкновения), чтобы после столкновения никаких колебаний не было.

[manul91]

sergey zhukov в сообщении #1667779 писал(а):

manul91
Насколько я вижу, ничего идеального не получается. Часть энергии всегда остается в виде колебаний пружинок. Нужны специальные начальные условия (т.е. все уже должно колебаться до столкновения), чтобы после столкновения никаких колебаний не было.

Так ведь в вашей модели волны не идеальны, насколько понимаю все дискретизовано; это скорей всего вносит ошибку.
Если резко стукнуть длинного стержня с одного конца - возмущение пойдет по нем со скоростью звука - дойдя до другого конца, если к нему касается объект подходящей упругости/массы (с подогнанными параметрами, типа кусок того же стержня длиннее чем сама волна) - то возможно все возмущение (волна) перейдет в нем и он отделится; при этом сам стержень в итоге окажется в покое без внутренних волн. Это интуитивно выглядит возможным сценарием....

[Cantata]

wrest в сообщении #1667775 писал(а):

Нет, после окончания первоначальных столкновений двигаться будут все, с разными скоростями

Интуитивно это и ожидается.
Похоже, что маятник будет работать идеально, если только соблюдать все условия - чтобы предмет, оказывающий воздействие на остальные шарики, имел такую же форму, массу и объем, т.е он должен быть таким же шариком.
Все остальное - уже нарушает систему маятника, и будут разные варианты на выходе, так получается?
Что будет, если на шарики окажет воздействие кубик с такой же массой, как и у шариков?

[sergey zhukov]

manul91
Да, может быть.

[sergey zhukov]

manul91
Похоже, что в дискретной модели нужно аккуратнее моделировать концы пружинок. При чередовании дискретных пружин и масс имеет значение, чем именно кончается (пружиной или массой) моделируемый объект и как подобрать параметры концевых элементов так, чтобы поведение моделируемого объекта было максимально похоже на непрерывный, у которого таких проблем нет.

Например, если взять простейшую модель из двух масс и двух невесомых пружинок, которая летит вверх и сталкивается с потолком, то в случае одинаковых масс и жесткостей пружин мы получаем кривоватое отражение (с колебаниями, картинка справа. Хотя реальная пружина должна делать это, вероятно, идеально). Однако можно так подобрать одну из масс, что отражение получается "идеальным" (картинка слева). Для этого верхняя масса должна быть заметно меньше нижней:


При измельчении сетки и увеличении числа элементов влияние концевых эффектов становится меньше:

[manul91]

sergey zhukov в сообщении #1667828 писал(а):

При измельчении сетки и увеличении числа элементов влияние концевых эффектов становится меньше:

Хорошо бы отслеживать это численно а не на глаз... Например на каждом шагу можно подсчитывать суммарную кинетическую энергию масс, и потенциальную всех пружинок; и смотреть на то какова доля потенциальной энергии (от всей энергии системы) по мере эволюции.
Насчет "пружинной модели" имхо "добротность" эффекта качели определяется только одним свойством: способности междинной среды сохранять когерентность, т.е. передать возмущение с одного до другого конца в итоге без изменений (чтоб волны не расплывались и т.д.).

[Geen]

sergey zhukov в сообщении #1667828 писал(а):

При измельчении сетки и увеличении числа элементов влияние концевых эффектов становится меньше

Знаете главную проблему с Вашими "весёлыми картинками"? - полное отсутствие доказательства корректности и устойчивости вычислений....