Колебания системы со многими степенями свободы ЛЛ-1

[Enceladoglu]

В ЛЛ-1, Механика, в параграфе 23 для амплитуд колебаний системы со многими степенями свободы получают такую систему уравнений
$\sum\limits_{k} (- \omega^2 m_{ik} + k_{ik})A_k = 0 $
Что бы система имела нетривиальное решение нужно что бы выполнялось характеристическое уравнение $\left\lvert k_{ik}- \omega^2 m_{ik} \right\rvert = 0$
Решая его получают собственные частоты $\omega_{\alpha}$
Далее я приведу цитату:

ЛЛ 1 писал(а):

После того как частоты $\omega_{\alpha}$ найдены, подставляя каждое из них в уравнение $\sum\limits_{k} (- \omega^2 m_{ik} + k_{ik})A_k = 0 $, можно найти соответствующие значения коэффициентов $A_k$. Если все корни $\omega_{\alpha}$ различны, то, как известно (откуда ?) коэффициенты $A_k$ пропорциональны минорам определителя $\left\lvert k_{ik}- \omega^2 m_{ik} \right\rvert $ в котором $\omega$ заменены соответствующими значением $\omega_{\alpha}$. Обозначим эти миноры через $\Delta_{k \alpha}$. Частное решение системы дифференциальных уравнений имеет следовательно вид $x_k = \Delta_{k \alpha} C_{\alpha} e^{i \omega_{\alpha} t}$

Если что, решение изначального диффура мы ищем ввиде $x_k =A_k e^{i \omega_{\alpha} t} $.
Я так понял, что минор тут не минор, а алгебраическое дополнение.
Действительно, если обозначить $a_{ij} =- \omega^2 m_{ik} + k_{ik} $, а соответствующее алгебраическое дополнение $A_{ij}$, то по теореме Лапласа о разложении определителя $\det a = \sum\limits_{k =1}^{n} a_{ik}A_{ik}$. Но $\det a = 0$
Тогда $\sum\limits_{k =1}^{n} a_{ik}A_{ik} = 0$ Для некой строки $i$.
Но в тоже время, по теореме о фальшивом разложении определителя $ \sum\limits_{k =1}^{n} a_{jk}A_{ik} = 0, j \ne i$.
Мы получили что $A_{ik}$ удовлетворяет нашему уравнению, т.е. $A_k = A_{ik}$.
Но есть нюанс. А может ли быть такое что все $ A_{ik} = 0$ ? Иными словами, ранг матрицы $a_{ik}$ не $n-1$ , а меньше ? Может как раз таки с помощью того факта что все корни различные это можно обойти ?

[drzewo]

Учить линейную алгебру по учебнику линейной алгебры не пробовали?

[Enceladoglu]

drzewo
Если Вы считайте что я забыл какой-то тривиальный факт или следствие (что вполне вероятно) то могли бы его написать, раз уж удосужились написать это)

[drzewo]

В окрестности положения равновесия линейная лагранжева система выглядит так

$$G\ddot x+Bx=0,$$

где $G$ -- матрица симметрической положительно определенной квадратичной формы, а $B$ -- матрица симметрической квадратичной формы. Соответственно, матрица $\tilde B=G^{-1}B$ -- это матрица линейного оператора, причем этот оператор симметричен относительно скалярного произведения $G:\quad \tilde B^TG=G\tilde B.$
Следовательно, имеется ортонормированный базис $u_1,\ldots, u_m$ из собственных векторов

$$\tilde B,\quad \tilde Bu_k=\lambda_ku_k,\quad \lambda_k\in\mathbb{R}.\qquad(*)$$

Этот базис находится стандартным образом. Сперва ищутся собственные значения из уравнения $|\tilde B-\lambda E|=0.$ Легко сообразить, что это уравнение эквивалентно следующему $|B-\lambda G|=0$.
А уравнение (*) эквивалентно $(B-\lambda_kG)u_k=0$
В бащисе $u_i$ форма $G$ имеет единичную матрицу, а форма $B$ диагональна.

[Enceladoglu]

drzewo
Спасибо, я что-то понял, постараюсь продолжить мысль.
Ранг матрицы не меняется при переходе к другому базисе.
$rang(B-\lambda_kG)=rang(B'-\lambda_kG')$
Тут матрица B' диагональна, G' единичная.
Если лямбда не нулевые, то тогда k-я строка $B'-\lambda_kG'$ нулевая, а остальные нет. Тогда ранг матрицы равен n -1. Так?

[drzewo]

Я не очень понимаю, что Вы хотите. Я Вам написал полный алгоритм с обоснованием приведения линейной лагранжевой системы к нормальным координатам. В линейной алгебре это называется <<приведение пары квадратичных форм к каноническому виду>>
Я только не доказал теорему о том, что собственные векторы симметрического оператора образуют ортогональный базис в пространстве. Это можно найти в любом учебнике по линейке. Впрочем то, что я написал -- тоже.

[Enceladoglu]

drzewo
Ну.. вообще я планировал доказать что ранг матрицы $a_{ij}$ равен n - 1..

[drzewo]

Enceladoglu в сообщении #1667797 писал(а):

Ну.. вообще я планировал доказать что ранг матрицы $a_{ij}$ равен n - 1..

Это следует из предположения о том, что все корни различны. А совершенно нелепое предположение о том, что все корни различны следует из того, что для случая кратных корней Ландау просто не умел приводить систему к нормальным координатам. :)

[Enceladoglu]

drzewo

drzewo в сообщении #1667798 писал(а):

Это следует из предположения о том, что все корни различны.

Это следствие доказывается с помощью тех свойств что Вы указали так ?

Enceladoglu в сообщении #1667795 писал(а):

Ранг матрицы не меняется при переходе к другому базисе.
$rang(B-\lambda_kG)=rang(B'-\lambda_kG')$
Тут матрица B' диагональна, G' единичная.
Если лямбда не нулевые, то тогда k-я строка $B'-\lambda_kG'$ нулевая, а остальные нет. Тогда ранг матрицы равен n -1. Так?

drzewo в сообщении #1667798 писал(а):

А совершенно нелепое предположение о том, что все корни различны следует из того, что для случая кратных корней Ландау просто не умел доказывать. :)

Ну в более сложные случаи я лезть пока на планирую, просто хотел разобраться что хотел сказать Ландау. Кажется благодаря Вам разобрался)

[drzewo]

Enceladoglu в сообщении #1667799 писал(а):

Это следствие доказывается с помощью тех свойств что Вы указали так ?

да

Enceladoglu в сообщении #1667799 писал(а):

Ну в более сложные случаи я лезть пока на планирую,

Они не более сложные. Деление на эти случаи вообще нерелевантно, если доказвать по-человечески.

-- 30.12.2024, 02:05 --

Enceladoglu в сообщении #1667799 писал(а):

Кстати у него количество собственных значений обозначено $s$, а не $n$. Буд-то бы их может быть меньше. Хотя если известно что они все действительное и разные, то по идее $ s = n$

у меня в книжке только $s$ используется, $n$ вообще нет

[Enceladoglu]

drzewo
Я этот кусок из своего сообщения вырезал ибо увидел что буква n это плод моего воображения, там все нормально в этом плане)

Кажется во всем теперь разобрался, ещё раз спасибо

[Theoristos]

Enceladoglu в сообщении #1667797 писал(а):

drzewo
Ну.. вообще я планировал доказать что ранг матрицы $a_{ij}$ равен n - 1..

В общем случае это неверно.
Например, для системы из N однотипных независимых осцилляторов.

Собственно, по рангу матрицы можно определить количество "вырожденных" собственных частот.

[Enceladoglu]

Theoristos
Ну я так понимаю в этом случае нарушается основное предположение о том что все собственные частоты различны

[Theoristos]

А откуда оно появилось?

[Enceladoglu]

Theoristos
Это было изначально предположение

Цитата:

Если все корни $\omega_{\alpha}$ различны, то, как известно (откуда ?) коэффициенты $A_k$ пропорциональны минорам определителя