ОДУ в полных дифференциалах

[Someone]

Pypuk, я ведь ясно написал: кроме общего решения, которое я выписал, нужно рассмотреть ещё два случая, которые не содержатся в общем решении: $z=0$ и $C_1=0$. Других случаев, которые надо рассматривать отдельно, нет.

[Александр Т.]

ewert писал(а):

Pypuk писал(а):

Откуда это ?

ewert писал(а):

${\partial P\over\partial y}={\partial Q\over\partial x}=(1+xy)e^{xy} \quad\Rightarrow\quad \exists U(x,y):\ {\partial U\over\partial x}=P,\ {\partial U\over\partial y}=Q$

Это -- стандартное условие потенциальности поля.

Я решил среагировать на это Ваше утверждение, поскольку сам до некоторого времени думал, что это условие соответствует условию потенциальности некоторого плоского (двумерного) векторного поля. При ближайшем рассмотрении, однако, оказалось, что это условие его соленоидальности.

Добавлено:
Сейчас увидел, что несколько погорячился. На самом деле можно трактовать это условие как условие потенциальности, а уравнение, для которого оно пишется --- как уравнение эквипотенциальных поверхностей для плоского потенциального поля. Но можно и трактовать его как условие соленоидальности, а соответствующее уравнение --- как уравнение векторных линий плоского поля (линий тока, если это плоское поле --- поле скоростей). То, что написано ниже --- обоснование второй трактовки уравнения в полных дифференциалах.

Действительно, пусть есть некоторое стационарное плоское поле скоростей (выбираю для определенности механику сплошных сред)

$$ \vec{v}(\vec{r})=v_x(x,y) \vec{i}+v_y(x,y)\vec{j}, \qquad \vec{r}=x \vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k} $$

где $x,y,z$ и $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ --- координаты и базисные векторы некоторой декартовой системы координат. Тогда параметрическое уравнение линий тока этого поля определяется системой дифференциальных уравнений
\begin{equation*} {} \begin{cases} \dfrac{d x}{d t}=v_x(x,y) \\* \dfrac{d y}{d t}=v_y(x,y) \end{cases} \end{equation*}
из которой можно получить дифференциальное уравнение для линий тока

$$ \dfrac{d x}{v_x(x,y)}=\dfrac{d y}{v_y(x,y)}, $$

или

$$ v_y(x,y)d x - v_y(x,y)d y=0. $$

Сравнивая с обычной записью уравнения в полных дифференциалах

$$ P(x,y)d x - Q(x,y)d y=0, $$

имеем

$$ v_y(x,y)=P(x,y) ,\qquad Q(x,y)=- v_x(x,y) , $$

и, следовательно, условие, которое обычно трактуется как условие потенциальности, запишется в виде

$$ \dfrac{\partial v_y}{\partial y} = - \dfrac{\partial v_x}{\partial x} , $$

или

$$ \dfrac{\partial v_x}{\partial x} + \dfrac{\partial v_y}{\partial y} = 0 . $$

Но это есть не что иное, как условие соленоидальности поля скоростей

$$ \mathop{\mathrm{div}}\vec{v} = \nabla\cdot\vec{v} = 0 . $$

Цитата:

Если для данных $P$, $Q$ потенциал $U$ действительно существует, т.е. если $P=U'_x$ и $Q=U'_y$, то
$P'_y=U''_{xy}=U''_{yx}=Q'_x.$

А то, что обычно трактуется как потенциал, в этой трактовке есть не что иное, как функция тока $\psi(x,y)$.

Если поле скоростей несоленоидально, то оно описывает установившееся движение сжимаемой среды, и нахождение интегрирующего множетеля соответствует нахождению плотности среды для соответствующего плоского течения при известном поле скоростей.

А вот чему соответствует нахождение интегрирующего множителя для непотенциального плоского поля, я не знаю.

---

[Pypuk]

$\int{\frac{xdx}{1-cx}} $
Что нужно сделать с С ?

[Brukvalub]

Pypuk в сообщении #172145 писал(а):

Что нужно сделать с С ?

Прибавить.

[Pypuk]

Всмысле ?

[Brukvalub]

Pypuk в сообщении #172148 писал(а):

Всмысле ?

Неужели Вы не знаете смысла слова "прибавить"?

[Pypuk]

Спасибо за содержательный ответ...

[Евгеша]

Домножьте и разделите числитель на (-c), вынесите 1/(-с) за знак интеграла. Затем прибавьте и вычтите в числителе единицу. Ну а дальше всё понятно.

[bot]

Евгеша в сообщении #172164 писал(а):

Домножьте и разделите числитель на (-c), ...

При c=0 тоже?

[Профессор Снэйп]

Pypuk писал(а):

Спасибо за содержательный ответ...

Brukvalub имел в виду, что значение неопределённого интеграла определяется с точностью до константы, которую обычно обозначают $C$ и "прибавляют" к ответу.

Вы сами виноваты. У Вас в выражении фигурирует $c$, то есть "c маленькое", а спрашиваете Вы, что надо делать с $C$, то есть с "C большим". "C большое" действительно прибавляют, а что делать с "c маленьким", Евгеша уже написал. Обратите также внимание на уточнение bot'а к его ответу.

[Pypuk]

Всем спасибо.

[maxal]

Pypuk, не дублируйте темы!