Прецессия Томаса 2.0

[Enceladoglu]

Частица движется со скоростью $\mathbf{v}$ и ускорением $\mathbf{\dot{v}}$, так что за малый промежуток времени $\delta t$ ее скорость в лабораторной системе S меняется на на величину $\delta \mathbf{v} = \mathbf{\dot{v}} \delta t$. Пусть S' инерциальная система отсчета, мгновенно сопутствующая частице в момент $t$, а S'' - такая же система для момента $t + \delta t$. Пользуясь преобразованиями Лоренца, показать что с точностью до членов, линейных по $\delta \mathbf{v}$:
$\mathbf{r''} = \mathbf{r'} + \Delta \varphi \times \mathbf{r'} - t'\Delta \mathbf{v}$
$ t'' = t' - \frac{\mathbf{r'} \cdot \Delta \mathbf{v}}{c^2} $
Тут
$ \Delta \mathbf{v} = \gamma (\delta \mathbf{v} + (\gamma - 1) \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{\delta v}}{v^2}\mathbf{v} ) $
$\delta \varphi = (\gamma - 1) \frac{\delta \mathbf{v} \times \mathbf{v} }{v^2}$

Решается это следующим образом
Рассмотрим сначала время. Преобразование Лоренца
Переход от $S \to S'' $
$t'' = \tilde{\gamma}(t + \delta t - \frac{\mathbf{r} \cdot (\mathbf{v} + \mathbf{\delta v })}{c^2})$
А переход от $S' \to S $
$t = \gamma(t'+ \frac{\mathbf{r'} \cdot \mathbf{v} }{c^2})$
Тут $ \tilde{\gamma} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{(\mathbf{v} + \mathbf{\delta v })}{c^2}}}$
Подставив второе в первое, можно будет почти получить искомую формулу, однако слагаемое $\tilde{\gamma} \delta t \approx \gamma \delta t $ останется.
Аналогично для координаты. Преобразования Лоренца в произвольном направлении имеет такой вид:
Переход от $S \to S'' $
$\mathbf{r''} = \mathbf{r} + ( \tilde{\gamma}-1)\frac{(\mathbf{r} \cdot (\mathbf{v} + \mathbf{\delta v }))(\mathbf{v} + \mathbf{\delta v })}{(\mathbf{v} + \mathbf{\delta v })^2} - \tilde{\gamma}(t + \delta t)(\mathbf{v} + \mathbf{\delta v })$
А переход от $S' \to S $
$\mathbf{r} = \mathbf{r'} + (\gamma-1)\frac{(\mathbf{r'} \cdot \mathbf{v} )\mathbf{v}}{\mathbf{v}^2} + \gamma t'\mathbf{v} $
И опять подставив второе в первое, можно будет почти получить искомую формулу, однако слагаемое $-\tilde{\gamma}\mathbf{v} \delta t \approx -\gamma \mathbf{v}\delta t $ останется.
На самом деле изначально очевидно, что слагаемым с $\delta t$ просто не с чем сократиться.
Таким образом, что бы получить необходимые формулы, нужно либо
1) В преобразовании Лоренца не использовать $\delta t$, что странно, и я не могу понять какая логика за этим может стоять
2) Отнять эти слагаемые с $\delta t$ (например в случае радиус-вектора это значит паралельный перенос, но что это значит для времени ?)
Что значит физически каждый из вариантов и какой верный ?

[12d3]

Enceladoglu в сообщении #1666633 писал(а):

однако слагаемое $\tilde{\gamma} \delta t \approx \gamma \delta t $ останется

А откуда это слагаемое вообще появилось? Там, где вы пишете $t+ \delta t$, должно быть просто $t$.
Кажется, понял. У вас одной буквой обозначены конкретные времена $t$ и $t + \delta t$, в которые скорости равны $\mathbf{v}$ и $\mathbf{v} + \delta \mathbf{v}$ соответственно, а также временная координата в преобразованиях Лоренца. И вы по ошибке в ПЛ вставили первое вместо второго.

[Enceladoglu]

12d3 в сообщении #1666671 писал(а):

А откуда это слагаемое вообще появилось? Там, где вы пишете $t+ \delta t$, должно быть просто $t$.

Может быть должно быть просто $t$, но почему?

-- 23.12.2024, 10:39 --

12d3 в сообщении #1666671 писал(а):

И вы по ошибке в ПЛ вставили первое вместо второго

Мысль вроде понял, то по идее это можно обойти тем фактом что я ищу преобразование Лоренца именно в эти моменты времени.

[12d3]

Enceladoglu в сообщении #1666700 писал(а):

я ищу преобразование Лоренца именно в эти моменты времени

Нехорошая какая-то формулировка. Абстрагируйтесь от вашего тела и того того факта, что две ИСО являются сопутствующими в два момента времени. Есть просто три ИСО, $S'$ движется относительно $S$, со скоростью $\mathbf{v}$, а $S''$ относительно $S$ - со скоростью $\mathbf{v} + \delta \mathbf{v} $. Перемножьте два буста, из $S'$ в $S$ и из $S$ в $S''$, получите ответ.

[Enceladoglu]

12d3
Если так, то тогда все сходиться.

-- 23.12.2024, 12:25 --

Просто такая формулировка задачи выглядит немного "не привязанной к телу"

[12d3]

Enceladoglu в сообщении #1666714 писал(а):

Просто такая формулировка задачи выглядит немного "не привязанной к телу"

Гм, ну посмотрим на это дело под таким углом. Пусть в момент времени $t_1$ скорость тела равна $\mathbf{v}_1$, а в момент времени $t_2$ равна $\mathbf{v}_2$. Если система $S'$ движется отностительно $S$ со скоростью $\mathbf{v}_1$, а система $S''$ движется отностительно $S$ со скоростью $\mathbf{v}_2$, то можно записать ПЛ из $S'$ в $S''$, а потом устремить $t_2$ к $t_1$, и соответственно $\mathbf{v}_2$ к $\mathbf{v}_1$, и линеаризовать. Будет ли в ответе как-то фигурировать $t_2 - t_1$ ?

[Enceladoglu]

12d3
Нуу в такой формулировке не будет зависеть)