Знаки неравенства в определении предела .

[tsverg]

Приветствую !
Непременно ли строгими должны быть неравенства в определении
предела последовательности и функции ?
Пожалуйста объясните .

[Pphantom]

Попробуйте написать, что будет, если $\varepsilon$ или $\delta$ окажутся равными нулю.

[tsverg]

Спасибо !

Во всех книгах прямо указывают , что $\varepsilon$ и $\delta$
положительные - словами или используя знак $>0$ .
У меня Фихтенгольц , Кудрявцев , Курант , Немыцкий с соавторами , Валле-Пуссен .
Но в Курсе математики Пизо и Заманского авторы ( оговорив предварительно положительность $\varepsilon$ ) , настаивают на строгом неравенстве ,
так как приняв
$|x_n-x_0|\leqslant\varepsilon$ вместо $|x_n-x_0|<\varepsilon$ ,
при $\varepsilon=0$ (?!) , получили бы $|x_n-x_0|=0$ почти
при всех $n$ .
У Немыцкого в определении предела функции оба неравенства нестрогие .
Запутали они меня .

[Pphantom]

Так вы попробуйте написать. И подумать, что будет, если в качестве "любого $\varepsilon$" взять $\varepsilon=0$.

[Otta]

tsverg в сообщении #1435870 писал(а):

так как приняв
$|x_n-x_0|\leqslant\varepsilon$ вместо $|x_n-x_0|<\varepsilon$ ,
при $\varepsilon=0$ (?!) ,

От того, что допускается нестрогое неравенство в $|x_n-x_0|\leqslant\varepsilon$ эпсилон не перестает быть положительным.

tsverg в сообщении #1435772 писал(а):

Непременно ли строгими должны быть неравенства в определении
предела последовательности и функции ?

Ответ на исходный вопрос: нет, это не обязательно. В силу произвольности выбора эпсилон (и дельта, если это определение предела функции),
утверждения
$\forall\varepsilon >0 \exist N\in \mathbb N \ \forall n>N \ |x_n-A|<\varepsilon$
$\forall\varepsilon >0 \exist N\in \mathbb N \ \forall n\ge N \ |x_n-A|\le\varepsilon$
$\forall\varepsilon >0 \exist N\in \mathbb N\ \forall n> N \ |x_n-A|\le\varepsilon$
$\forall\varepsilon >0 \exist N\in \mathbb N \ \forall n\ge N \ |x_n-A|<\varepsilon$
эквивалентны.
Аналогичное верно и для пределов функций. Попробуйте обосновать самостоятельно, к примеру, эквивалентность первых двух.

[Gecko]

Также заинтересовал этот вопрос.
Попробую доказать эквивалентность $(\forall\varepsilon>0\ \exists N: \forall n \geqslant N \left\lvert x_n - a\right\rvert<\varepsilon) \Longleftrightarrow (\forall\varepsilon>0\ \exists N: \forall n \geqslant N \left\lvert x_n - a\right\rvert\leqslant\varepsilon)$.
Необходимость. Следует из того, что $\forall\ a,b \ (a<b) \Rightarrow (a\leqslant b)$
Достаточность.

$$(\forall\varepsilon>0\ \exists N: \forall n \geqslant N \left\lvert x_n - a\right\rvert\leqslant\varepsilon) \Rightarrow (\forall\varepsilon>0 \ \exists N_1: \forall n \geqslant N \left\lvert x_n-a\right\rvert\leqslant\ \frac{\varepsilon}{2}) \Rightarrow$$

$$ \Rightarrow(\forall\varepsilon>0 \ \exists N_1: \forall n \geqslant N_1 \left\lvert x_n-a\right\rvert<\varepsilon)$$