2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Знаки неравенства в определении предела .
Сообщение18.01.2020, 02:14 


03/06/12
17
Приветствую !
Непременно ли строгими должны быть неравенства в определении
предела последовательности и функции ?
Пожалуйста объясните .

 Профиль  
                  
 
 Re: Знаки неравенства в определении предела .
Сообщение18.01.2020, 02:27 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Попробуйте написать, что будет, если $\varepsilon$ или $\delta$ окажутся равными нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Знаки неравенства в определении предела .
Сообщение18.01.2020, 21:20 


03/06/12
17
Спасибо !

Во всех книгах прямо указывают , что $\varepsilon$ и $\delta$
положительные - словами или используя знак $>0$ .
У меня Фихтенгольц , Кудрявцев , Курант , Немыцкий с соавторами , Валле-Пуссен .
Но в Курсе математики Пизо и Заманского авторы ( оговорив предварительно положительность $\varepsilon$ ) , настаивают на строгом неравенстве ,
так как приняв
$|x_n-x_0|\leqslant\varepsilon$ вместо $|x_n-x_0|<\varepsilon$ ,
при $\varepsilon=0$ (?!) , получили бы $|x_n-x_0|=0$ почти
при всех $n$ .
У Немыцкого в определении предела функции оба неравенства нестрогие .
Запутали они меня .

 Профиль  
                  
 
 Re: Знаки неравенства в определении предела .
Сообщение18.01.2020, 21:29 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Так вы попробуйте написать. :-) И подумать, что будет, если в качестве "любого $\varepsilon$" взять $\varepsilon=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Знаки неравенства в определении предела .
Сообщение18.01.2020, 22:14 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
tsverg в сообщении #1435870 писал(а):
так как приняв
$|x_n-x_0|\leqslant\varepsilon$ вместо $|x_n-x_0|<\varepsilon$ ,
при $\varepsilon=0$ (?!) ,

От того, что допускается нестрогое неравенство в $|x_n-x_0|\leqslant\varepsilon$ эпсилон не перестает быть положительным.
tsverg в сообщении #1435772 писал(а):
Непременно ли строгими должны быть неравенства в определении
предела последовательности и функции ?

Ответ на исходный вопрос: нет, это не обязательно. В силу произвольности выбора эпсилон (и дельта, если это определение предела функции),
утверждения
$\forall\varepsilon >0 \exist N\in  \mathbb N \ \forall n>N \ |x_n-A|<\varepsilon$
$\forall\varepsilon >0 \exist N\in  \mathbb N \ \forall n\ge N \ |x_n-A|\le\varepsilon$
$\forall\varepsilon >0 \exist N\in  \mathbb N\  \forall n> N \ |x_n-A|\le\varepsilon$
$\forall\varepsilon >0 \exist N\in \mathbb N \ \forall n\ge N \ |x_n-A|<\varepsilon$
эквивалентны.
Аналогичное верно и для пределов функций. Попробуйте обосновать самостоятельно, к примеру, эквивалентность первых двух.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group