Кубы и квадраты

[dick]

mihaild
Теперь доказано, что $z^3-y^3=x^3$ (1) может иметь натуральное решение, только если $z-y=1$ ?

[mihaild]

Я так понимаю, Вы просто алгебраическими преобразованиями получаете (2.3) и оттуда ими же $z - y = 1$? Если да, то подставьте $x = y = 2$, $z = 2\sqrt[3]{2}$ и ищите ошибку - если алгебраические преобразования верны для целых чисел, то они же верны для вещественных.
Если нет, то перепишите нормально (в том числе с выключенными формулами и переносами строк, чтобы можно было прочитать; но в первую очередь - без мутных рассуждений про "для получения константы необходимо что-то"; если они нужны - перепешите строго, "пусть что-то, тогда что-то", если не нужны - просто уберите).

[dick]

На счет подстановки, я не понял зачем подставлять в (1) заведомо ложные значения, если мы говорим о натуральном решении?
А подставить эти значения в мои "преобразования" вообще невозможно.

Теперь по существу.
Если имеются четыре произвольных, последовательных(соседних) натуральных куба, то всегда выполняется равенство:

$((x^3-(x-1)^3)-((x-1)^3-(x-2)^3))-(((x-1)^3-(x-2)^3)-((x-2)^3-(x-3)^3))=6$ (2);

Если записать (2) относительно наибольшего куба, получим:

$x^3=3(x-1)^3-3(x-2)^3+(x-3)^3+6$ (2.1);

Тогда (1) примет вид:

$x^3=3((z-1)^3-(y-1)^3)-3((z-2)^3-(y-2)^3)+((z-3)^3-(y-3)^3)$ (2.2.1);

Или такой вид:

$x^3=3((z-1)^3-(z-2)^3)-3((y-1)^3-(y-2)^3)+((z-3)^3-(y-3)^3)$ (2.2.2);

Потому что:

$((z-1)^3-(y-1)^3)-((z-2)^3-(y-2)^3)=((z-1)^3-(z-2)^3)-((y-1)^3-(y-2)^3)$ (2.3);

Не пойму как правильно переносить строку формулы(или удлинять строку, место вроде есть).

[mihaild]

dick в сообщении #1666106 писал(а):

На счет подстановки, я не понял зачем подставлять в (1) заведомо ложные значения, если мы говорим о натуральном решении?

Затем, что если бы Ваше рассуждение было корректным, то какой-то переход в нем был бы неверен для вещественных чисел.
Пока что все (2.2.*) верны и для произвольных вещественных решений.

dick в сообщении #1666106 писал(а):

Не пойму как правильно переносить строку формулы(или удлинять строку, место вроде есть)

Удлинять никак, а переносить - окружать доллары \begin{multiline}...\end{multiline}, и ставить двойные слеши для переноса.
\begin{multiline}$((z-1)^3-(y-1)^3)-((z-2)^3-(y-2)^3)=\\ ((z-1)^3-(z-2)^3)-((y-1)^3-(y-2)^3)$\end{multiline}

[dick]

mihaild в сообщении #1666111 писал(а):

Пока что все (2.2.*) верны и для произвольных вещественных решений.

Не могли бы Вы это показать?

[mihaild]

dick в сообщении #1666397 писал(а):

Не могли бы Вы это показать?

Так все переходы, которые Вы делаете, чисто арифметические, они автоматически верны для вещественных, если верны для целых.
Ну или раскройте скобки.

[dick]

Я хотел увидеть, каким образом из четырех вещественных (или менее, если в четверке часть чисел-натуральные) получаются четыре соседних натуральных куба.

[mihaild]

dick в сообщении #1666422 писал(а):

получаются четыре соседних натуральных куба.

Они будут не натуральные, но точно так же отличаться на 1,2,3,4.

В общем хорошо, Ваши 2.* верны для натуральных решений (а равно и для любых вещественных). Что дальше?

[dick]

Поскольку (2.3) это тождество, $(z-2)=(y-1)$.

[mihaild]

dick в сообщении #1666535 писал(а):

Поскольку (2.3) это тождество, $(z-2)=(y-1)$.

Нет. Например при $y = z = 0$, 2.3 выполнено, а $z - 2 = y-1$ - нет.