Деление на ноль в множестве вещественных чисел

[Innokenty Zholobov]

Деление на ноль в множестве вещественных чисел.

«В науке можно обоснованно усомниться в чем угодно, иначе это не наука, а религия» (с) Каочумче.

Раскрыть тему тяжело, вовсе не потому что она сложна, наоборот все просто, а потому что она очень дискредитирована, и скепсис возникает сам собой. Да и мыслить мы привыкли по-другому. Однако я прошу читателя все же дать мне шанс. В своей концепции я до конца не уверен, и пост мой завершится знаком вопроса. Вообще, обычно, это крайне неблагодарное дело.

Переопределение деления. $ a\div b=c \Leftrightarrow (b\neq 0\ a\underbrace{+(-c)+(-c) \ldots+(-c)}_b=0 )\vee(b=0\ c=0)$ Приведу в пример задачку (детскую для простоты).

Есть $ 7 $ яблок, детям говорят, кто захочет берите яблоки, но разделите их между берущими поровну. Сколько яблок получит каждый берущий? Никто не захотел брать яблоки, яблоки остались там, где были, от них не отнялось, это значит каждый кто хотел взять получил ноль, значит $ 7\div 0=0 $ . Абсолютно естественная ситуация для нашего мира, с, по моему мнению, логичным результатом.

Т.е. правильнее было бы определить деление с остатком, что используется в натуральных числах, в вещественных остатка обычно не остается, но в данном случае остается. Для вещественных чисел будет достаточно такого определения, но это конечно частный случай, $(d)$ – остаток

$$a \div b=c (d)\Leftrightarrow (b\neq 0 \ d=0\ a\underbrace{+(-c)+(-c)\ldots+(-c)}_b=0 )\vee(b=0\ c=0 \ a-d=0)$$

Более полный ответ на задачку $7\div0 = 0\ ($ост.$7)$

Поле, но с еще одной аксиомой (последняя):
$ \langle \mathbb R,+,\times\rangle $

$ \forall a,b\in\mathbb R:\ a+b=b+a $

$\forall a,b,c\in\mathbb R:\ (a+b)+c=a+(b+c) $

$\exists 0\in\mathbb R:\forall a\in\mathbb R:\ \ a+0=a $

$ \forall a\in\mathbb R:\ \exists(-a)\in\mathbb R: \ a+(-a)=0$

$\forall a,b\in\mathbb R:\ \ ab=ba $

$\forall a,b,c\in\mathbb R:\ \ (ab)c=a(bc)$

$\exists 1\in\mathbb R\setminus\lbrace 0\rbrace:\forall a\in\mathbb R:\ \ a\times1=a$

$\forall a\in\mathbb R\setminus\lbrace 0\rbrace:\exists a^{-1}\in\mathbb R\setminus\lbrace 0\rbrace: \ a\times a^{-1}=1$

$\forall a,b,c\in\mathbb R:\ \ a(b+c)=(ab)+(ac)$

$\exists 0^{-1}\in\mathbb R:\ \ 0^{-1}=0$

Главное следствие моей концепции, для которой и была добавлена, казалось бы, ненужная аксиома:

$\forall a,b\in\mathbb R:\ \ a \div b=a \times b^{-1}$

Это даже красиво. Деление и умножение теперь полностью взаимозаменяемые действия через обратный элемент, как сложение и вычитание через противоположный $a - b=a + (-b)$.

Я не смог найти внутри этой алгебраической структуры, и используя такое определение деления, логических противоречий, даже не вижу, где бы они могли возникать, всех призываю попробовать. На сколько я знаю, если противоречий нет, нет причин этим не пользоваться. Да деление и умножение на ноль получаются необратимыми математическими действиями, в чем нет ничего нового, так и в обычном случае происходит. В этом есть некоторые ограничения, например дроби, с ненулевым знаменателем и с нулевым, нельзя привести к общему знаменателю, потому что $\forall a\in\mathbb R\setminus\lbrace 0\rbrace:\ \ a\div a=1$, но $0 \div 0 =0$ повторюсь, ничего нового, это и так было невозможно.
Получилась очень цельная система. На сколько я вижу, ничто из математического аппарата не утрачивает своего смысла, но стало меньше белых пятен. Как будто вложен недостающий пазл. Однако возникает необходимость многое осмыслить и переосмыслить. Например, у тех, кому я это уже показывал, возникал вопрос о первом замечательном пределе. Но это отдельная тема, которую я уже пытался поднять, но очень плохо у меня это вышло сформулировать.

Дальше я порассуждаю как так вышло, что моя концепция не была сформулирована раньше. Это важно для обоснования моей концепции.
Было решено, что умножение первично, а деление вторично. Наверняка, потому что умножение более понятно для человеческого интеллекта, особенно при работе с «ничем», нулем. Одно математическое действие было поставлено над другим. Нелогичность данного подхода я попытаюсь показать следующим образом: я покажу, как выглядела бы алгебраическая структура на подобии поля, если бы гипотетически было бы решено наоборот, что деление первично, а умножение вторично, чтобы воспроизвести аналог состояния в котором мы находимся сейчас, но с обратной стороны. "Поле" через мной определенное деление:
$ \langle \mathbb R,+,\div \rangle $

$ \forall a,b\in\mathbb R:\ a+b=b+a $

$\forall a,b,c\in\mathbb R:\ (a+b)+c=a+(b+c) $

$\exists 0\in\mathbb R:\forall a\in\mathbb R:\ \ a+0=a $

$ \forall a\in\mathbb R:\ \exists(-a)\in\mathbb R: \ a+(-a)=0$

$\forall a,b,c\in\mathbb R:\ \ a\div (b\div c)= c \div (b\div a)$

$\forall a,b,c\in\mathbb R:\ \ (a\div b)\div c=(a\div c)\div b$

$\exists 1\in\mathbb R\setminus\lbrace 0\rbrace:\forall a\in\mathbb R\setminus\lbrace 0\rbrace:\ \ a\div a=1 $

$\forall a\in\mathbb R\setminus\lbrace 0\rbrace:\exists a^{-1}\in\mathbb R\setminus\lbrace 0\rbrace: \ 1\div a=a^{-1}$

$\forall a,b,c\in\mathbb R:\ \ (a+b)\div c=(a\div c)+(b\div c)$

(Мог что-то упустить в аксиоматике, но это уже гипотетические размышления, поэтому не так важно)
(Выстраивание математического аппарата к этому «полю» конечно та еще задачка, как-то все получается перевернуто. Не возьмусь примеры приводить)

Умножение в этом случае я объявлю, как обратное действие делению $ a\times b = c \Leftrightarrow c\div b=a $, и умножение на ноль получается неопределенно. Это ведь должен существовать такой "с" который при делении на ноль даст "a" $ a\times 0 = c \Leftrightarrow c\div 0=a $, но все деленое на ноль равно нулю (привет Савватееву). Умножать на ноль не имеет смысла! И это точно так же преодолевается переопределением умножения и аксиомой " $0=0^{-1}$".

В моей концепции, деление и умножение абсолютно равноправны.

По сути все. Само собой вещественные числа были взяты для примера, это должно быть справедливо и для многих других алгебраических структур.

Мне кажется, было бы полезно уметь делить на ноль, начиная от программирования заканчивая философией, физиков возможно навело бы на какие-нибудь мысли с их черными дырами и прочими сингулярностями (не знаю). В общем возможно это кому-то пригодится, поэтому просьба не рубить с плеча.

Мне, конечно, хочется заявить, что я преисполнился в понимании что такое «ничто». Только я не математик, а сварщик четвертого разряда. Математикой увлекаюсь, просто по зову сердца, и изучаю ее самостоятельно (поэтому сразу прошу прощения если что-то не корректно пишу. Так же надеюсь что ничего не упустил и все знаки стоят и там где надо). Не сомневаюсь, что каждый из вас умнее и компетентнее меня, поэтому вопрос к вам. Имеет ли моя концепция право на существование, или я не замечаю какой-то критической ошибки в своих рассуждениях, и если так, то что это за ошибка?

[Dedekind]

Innokenty Zholobov в сообщении #1666218 писал(а):

$\exists 0^{-1}\in\mathbb R:\ \ 0^{-1}=0$

0*0=1
0*0=0
Противоречие.

[Mihr]

Innokenty Zholobov, Вы хотите считать результатом деления на ноль... число ноль. А почему не сорок два, например? В схему деления с остатком это число укладывается ничуть не хуже:

$195=42 \cdot 0 +195$

Но дело и не в этом. Если уж пользоваться схемой деления с остатком, то следует помнить, что
а) остаток всегда неотрицателен
б) остаток всегда меньше делителя
Как же применить тогда деление с остатком, чтобы это было и правильно (соответствовало пунктам а) и б) ), и при этом не противоречило Вашему определению? Увы, не получается.

[Innokenty Zholobov]

Mihr в сообщении #1666222 писал(а):

Innokenty Zholobov, Вы хотите считать результатом деления на ноль... число ноль. А почему не сорок два, например? В схему деления с остатком это число укладывается ничуть не хуже:

$195=42 \cdot 0 +195$

Но дело и не в этом. Если уж пользоваться схемой деления с остатком, то следует помнить, что
а) остаток всегда неотрицателен
б) остаток всегда меньше делителя
Как же применить тогда деление с остатком, чтобы это было и правильно (соответствовало пунктам а) и б) ), и при этом не противоречило Вашему определению? Увы, не получается.

Задачка с яблоками. Берущих яблоки 0, это означает что от яблок не убавилось, их некому брать. Вот и остаток. А если остаток равен делимому значит на делитель не приходится нисколько, 0 яблок. Потому не 42. В моей концепции необходимо пользоваться моими определениями, иначе она конечно не сработает, как вот если утверждать что остаток всегда меньше делителя. Я в том числе пытаюсь и в остатке усомниться, это неотъемлемая часть соей системы

-- 20.12.2024, 11:59 --

Dedekind в сообщении #1666219 писал(а):

Innokenty Zholobov в сообщении #1666218 писал(а):

$\exists 0^{-1}\in\mathbb R:\ \ 0^{-1}=0$

0*0=1
0*0=0
Противоречие.

$\forall a\in\mathbb R\setminus\lbrace 0\rbrace:\exists a^{-1}\in\mathbb R\setminus\lbrace 0\rbrace: \ a\times a^{-1}=1$

[Mihr]

Innokenty Zholobov в сообщении #1666223 писал(а):

В моей концепции необходимо пользоваться моими определениями

Если Ваша концепция совершенно не вписывается в уже существующую математику, то - благодарю покорно - пользуйтесь ею сами. Мне вот совершенно непонятно, где и в чём Ваше определение может оказаться полезным.

(Оффтоп)

И на всякий случай хочу предупредить: производство тем для Пургатория (а эта тема именно такова) рано или поздно оканчивается баном.

[wrest]

Innokenty Zholobov в сообщении #1666218 писал(а):

Было решено, что умножение первично, а деление вторично. Наверняка, потому что умножение более понятно для человеческого интеллекта,

Скорее потому, что умножение это потомок сложения.

[Dedekind]

Innokenty Zholobov
Что такое $0^{-1}$ тогда? Чему равно $0\cdot 0^{-1}$?

[Innokenty Zholobov]

Dedekind в сообщении #1666232 писал(а):

Innokenty Zholobov
Что такое $0^{-1}$ тогда? Чему равно $0\cdot 0^{-1}$?

Добавленной аксиомой я утверждаю, что обратный элемент нуля равен нулю как единица $1=1^{-1}$ или минус единица $-1=(-1)^{-1}$
$0\cdot 0^{-1}=00=0$

[Dedekind]

Innokenty Zholobov
Если Вы постулируете существование $0^{-1}$ и при этом у Вас $0^{-1}=0$, то это означает, что Вы постулируете существование $0$. Значит, Ваша аксиома лишняя, потому что существование $0$ уже было постулировано в предыдущих аксиомах. Вашу тогда можно выбросить из системы и ничего не изменится.

[Stratim]

В одном из своих видео Савватеев очень просто и наглядно объясняет почему в математике нельзя делить на ноль. Найдите, посмотрите.

Савватеев вроде числится членкором РАН.

[Innokenty Zholobov]

Dedekind в сообщении #1666240 писал(а):

Innokenty Zholobov
Если Вы постулируете существование $0^{-1}$ и при этом у Вас $0^{-1}=0$, то это означает, что Вы постулируете существование $0$. Значит, Ваша аксиома лишняя, потому что существование $0$ уже было постулировано в предыдущих аксиомах. Вашу тогда можно выбросить из системы и ничего не изменится.

Склонен с вами согласиться. Но мы так же определяем обратный элемент для единицы, а она уже определена.
Просто в моей системе ноль в минус первой степени равен нулю, обозначение обратного элемента часто пишут так же как степень, а обратный элемент нуля не определен в поле. Возможно я так хотел подчеркнуть существование отрицательной степени у нуля. Но наверное это в самом деле лишнее

[Dedekind]

Innokenty Zholobov в сообщении #1666250 писал(а):

Но мы так же определяем обратный элемент для единицы, а она уже определена.

Нет, отдельно мы обратный элемент для единицы не определяем. Мы постулируем существование обратных элементов для всех элементов множества, кроме нуля, вот этой аксиомой:

Innokenty Zholobov в сообщении #1666218 писал(а):

$\forall a\in\mathbb R\setminus\lbrace 0\rbrace:\exists a^{-1}\in\mathbb R\setminus\lbrace 0\rbrace: \ a\times a^{-1}=1$

Если же Вы хотите постулировать обратный элемент нуля - то нужно это делать отдельной аксиомой. Но тогда система получится противоречивой.

Innokenty Zholobov в сообщении #1666250 писал(а):

Но наверное это в самом деле лишнее

О том и речь.

[Innokenty Zholobov]

Stratim в сообщении #1666247 писал(а):

В одном из своих видео Савватеев очень просто и наглядно объясняет почему в математике нельзя делить на ноль.

Не случайно я ему передал привет. Он там определяет деление как обратное действие умножению, и при таком подходе в самом на ноль делить никак не выйдет, что я и показал в своих гипотетических размышлениях где выходит что умножать на ноль "нельзя".

[mihaild]

Innokenty Zholobov в сообщении #1666218 писал(а):

Мне кажется, было бы полезно уметь делить на ноль

Вам неправильно кажется. Деление нужно не просто потому что у нас мало бинарных операций, как-то скучно, а ради его хороших свойств. И сохранить эти свойства при разрешении деления на ноль невозможно.

Innokenty Zholobov в сообщении #1666218 писал(а):

Имеет ли моя концепция право на существование, или я не замечаю какой-то критической ошибки в своих рассуждениях, и если так, то что это за ошибка?

Ошибок нет, но всё равно не имеет, потому что пользы нет.

Stratim в сообщении #1666261 писал(а):

Есть множество чисел, включая комплексные. И есть шесть элементарных операций. Вместе они создают замкнутое пространство. Ноля в нём нет

Можете написать строго, с формулами, о чем речь?

[drzewo]

(Оффтоп)

интересно, а от нестандартного анализа есть какая-нибудь польза, или пользы столько же, сколько от теории категорий?