Экзотическое равенство с кубическими радикалами

[nnosipov]

Сюжет навеян темой Равенство с радикалами. Существует ли равенство вида

$$\sqrt[3]{a+\omega_1}+\sqrt[3]{b+\omega_2}=1,$$

где $a,b \in \mathbb{Q}$, а $\omega_1$, $\omega_2$ --- вещественные непропорциональные кубические радикалы над $\mathbb{Q}$? (Число $\omega \in \mathbb{R}$ называется вещественным кубическим радикалом над $\mathbb{Q}$, если $\omega \not\in \mathbb{Q}$, но $\omega^3 \in \mathbb{Q}$.)

Комментарий. Гипотетически ответ "нет", но доказательство приводит к эллиптической кривой, которая, по-видимому, отсутствует на складе https://www.lmfdb.org.

[nnosipov]

Кривая нашлась, ранг ее нулевой, так что искомых равенств не существует.