Для чего нужны комплексные числа?

[nnosipov]

В мое время была такая книжечка "Избранные вопросы математики: 10 кл. Факультативный курс" (М., Просвещение, 1980). Вполне читабельная и интересная для меня тогда была. Так вот, 1-й параграф 2-го раздела ("Комплексные числа и многочлены") так и называется: "Зачем нужны комплексные числа". И учился я в обычной советской школе (т.е. школьной программы достаточно было, чтобы читать такие книжки).

У меня ощущение, что этот сюжет (про нужность комплексных чисел) обсуждается в 100500-й раз.

[zykov]

По вопросу "Для чего нужны комплексные числа?", то зависит от уровня образования человека.
Для человека с хорошим высшим образованием (техническое, физмат) такого вопроса в принципе стоять не может. Он это должен чётко понимать.
Для школьника, который только что услшал, что корень из минус один равен $i$, то да, может быть непонятно без изучения глубоких применений этой концепции.

[katzenelenbogen]

nnosipov в сообщении #1665565 писал(а):

У меня ощущение, что этот сюжет (про нужность комплексных чисел) обсуждается в 100500-й раз.

Потому что от этого он вообще не делается более понятным.

Комплексные числа вызывают ощущение сумасшедшего дома, и несмотря на объяснения, этого не проходит.
Тут ещё свысока разговаривают люди, которые делают вид, что знают, однако после и в результате их действий становится не понятнее, а так же, как было, только с добавлением устойчивости имевшемуся состоянию.

Оскорбить-то меня пользователь, написав, что я должен делать, оскорбил, только в результате знать я не стал.
А он показал, что в принципе способен так поступить, и поэтому по делу, то есть, если возникнет дело, его надо избегать.

[dgwuqtj]

А откуда у вас вообще возник такой вопрос про комплексные числа, если вы их не используете? Алгебраические и линейные дифференциальные уравнения решать не надо, спецфункции вам тоже не нужны, как я понимаю... Решать олимпиадные задачи по планиметрии вы тем более не будете.

[nnosipov]

katzenelenbogen в сообщении #1665824 писал(а):

Потому что от этого он вообще не делается более понятным.

Ну, если чтение книг не помогает, то, возможно, и не судьба узнать, зачем же они нужны, эти комплексные числа.

[drzewo]

А я вот не понимаю такой вещи. Все знают, что для успешных занятий, например, музыкой или живописью нужны способности и не у всех получается. А почему с математикой должно быть иначе? Ну если математические абстракции

katzenelenbogen в сообщении #1665824 писал(а):

вызывают ощущение сумасшедшего дома

то это вернейший признак того, что к математике способностей нет. Отдайте себе в этом отчет наконец, и займитесь чем-нибудь другим.

[Евгений Машеров]

katzenelenbogen в сообщении #1665824 писал(а):

Комплексные числа вызывают ощущение сумасшедшего дома, и несмотря на объяснения, этого не проходит.
Тут ещё свысока разговаривают люди, которые делают вид, что знают, однако после и в результате их действий становится не понятнее, а так же, как было, только с добавлением устойчивости имевшемуся состоянию.

Оскорбить-то меня пользователь, написав, что я должен делать, оскорбил, только в результате знать я не стал.
А он показал, что в принципе способен так поступить, и поэтому по делу, то есть, если возникнет дело, его надо избегать.

По пунктам:
1. Числа в сумасшедший дом не госпитализируются, только люди (с меня фуражка прапорщика Ясненько не слетела?). То есть либо Вы окружающих считаете сумасшедшими, либо себя. Первое прогностически неблагоприятный признак, второе благоприятный - критика сохранена.
2. Люди, которые Вам отвечали - все без исключения знают. Потому что знать=уметь использовать. И, последуй Вы их советам, тоже стали бы знать. Наработав умение их использовать, набрав примеров практической полезности. А "приятное ощущение понимания" придёт потом, когда научитесь свободно ими оперировать. И да, это именно "вопрос привычки".
3. В данном конкретном случае "оскорбление" выдумали Вы себе. Это сигнал, возникший не на источнике, а на приёмнике. Вам отвечали корректно по форме и верно по сути.
4. Разумеется, Ваше право выбирать, с кем знаться, но если Вы пришли сюда разобраться - Вам лучше общаться с теми, кто помогает, а не с теми, кто уверяет в том, что Вы совершенно правы (а когда Вам вдруг начинают безудержно льстить - самое время проверить, при Вас ли кошелёк и на Вас ли ваши трусы). А если человек, взявшийся Вам помогать, вдруг раздражится Вашим упорным непониманием - учитывайте то, что он взялся помогать Вам безвозмездно, то есть даром, и проявлять такое терпение, как оплаченный репетитор к тупому ученику, не обязан.

В остальном - Вам даны пояснения, чем комплексные числа отличаются от "просто пары", приведены примеры их практической полезности, даны ссылки на литературу. Если Вам действительно важен и интересен этот вопрос - всё для ответа на него Вам предоставлено. Если же Вам нужно лишь подтверждение, что Вы один умный, остальные дураки - у меня для Вас плохие новости.

[drzewo]

(Оффтоп)

Евгений Машеров в сообщении #1665831 писал(а):

И, последуй Вы их советам, тоже стали бы знать. Наработав умение их использовать, набрав примеров практической полезности. А "приятное ощущение понимания" придёт потом, когда научитесь свободно ими оперировать. И да, это именно "вопрос привычки".

Не-а:) Что такое непрерывность функции понимают все, а что такое равномерная непрерывность -- уже нет.

[Евгений Машеров]

Ну так понятие непрерывности востребовано не только профессиональными математиками, а просто использующими, а равномерной - инструмент профессионала, не скажу, что "только для доказательств", и "пользователей" больше, чем "профи". Но если его достаточно упорно использовать - и оно станет привычным и понятным.

[Евгений Машеров]

Уважаемый Anton_Peplov, искренне взявшись Вам помогать, совершил, однако, две ошибки, переоценив и Ваш уровень знаний, и Вашу зрелость, как личности. В силу первой он стал объяснять, как квалифицированному математику, упомянув, скажем, "анализ на многообразиях", в силу второй он разговаривал с Вами, как со взрослым.
Вероятно, для предотвращения подобного рода недоразумений Вам было бы целесообразно представляться, указывая свой возраст и уровень образования. По крайней мере, если вопрос может быть расценён, как провокативный.

[sergey zhukov]

Klein в сообщении #1665100 писал(а):

Дано: кольцевая железная дорога, состоящая из 13 звеньев. Какое минимальное количество звеньев необходимо добавить, чтобы удлинить эту железную дорогу, сохранив её в форме замкнутой фигуры без пересечений?

То-то у меня в детстве игрушечная железная дорога все время как-то криво складывалась. Попробовал подобрать решение, но что-то, похоже, тут ответ вроде "нужно добавить минимум 1998 звеньев".

[Sender]

sergey zhukov в сообщении #1666156 писал(а):

Попробовал подобрать решение, но что-то, похоже, тут ответ вроде "нужно добавить минимум 1998 звеньев".

(sergey zhukov)

Вроде 26 достаточно. Но, честно говоря, у меня нет доказательства минимальности этой оценки, равно я не усмотрел предполагаемое элегантное решение через комплексные числа.

[Klein]

sergey zhukov в сообщении #1666156 писал(а):

Klein в сообщении #1665100 писал(а):

Дано: кольцевая железная дорога, состоящая из 13 звеньев. Какое минимальное количество звеньев необходимо добавить, чтобы удлинить эту железную дорогу, сохранив её в форме замкнутой фигуры без пересечений?

То-то у меня в детстве игрушечная железная дорога все время как-то криво складывалась. Попробовал подобрать решение, но что-то, похоже, тут ответ вроде "нужно добавить минимум 1998 звеньев".

Каждое звено поворачивает направление дороги на угол $\frac{2\pi}{13}$. Из 13 таких звеньев образуется замкнутая фигура без самопересечений. Рассмотрим дорогу как ломаную, заданную последовательностью векторов одинаковой длины $L$. Пусть первый вектор направлен вдоль действительной оси в комплексной плоскости. Тогда каждый следующий вектор получается умножением предыдущего на комплексное число $w=e^\frac{2\pi i}{13}$.
Kоординаты конца ломаной после $n$ звеньев $z_n=L(1+w+w^2+...+w^{n-1})$.

$1+w+...+w^{12}=0$ для $n=13$. Чтобы сумма $1+w+w^2+...+w^{n-1}=0$ надо чтобы $w^n=1$. Так как $w =e^\frac{2\pi i}{13}$, то $w^n=1$ , когда $n$ кратно 13. Для замкнутости длину дороги можно увеличить до 26, 39, 52, 65 звеньев и далее.

Минимальное дополнительное количество звеньев для сохранения замкнутости - 13 звеньев к исходным 13.

[warlock66613]

Klein в сообщении #1666205 писал(а):

Kоординаты конца ломаной после $n$ звеньев $z_n=L(1+w+w^2+...+w^{n-1})$.

Но это только для тривиальной ситуации, когда все повороты всегда в одну сторону.

[Klein]

warlock66613 в сообщении #1666206 писал(а):

Klein в сообщении #1666205 писал(а):

Kоординаты конца ломаной после $n$ звеньев $z_n=L(1+w+w^2+...+w^{n-1})$.

Но это только для тривиальной ситуации, когда все повороты всегда в одну сторону.

Для разных углов поворота звеньев задача будет нетривиальной и не для школьников.