Помогите понять абзац из книги.

[Maxim Vlasov]

Помогите пожалуйста разобраться в приведенном ниже.

Ландау, Лифшиц. Теоретическая физика, том 1, Механика. 4е издание.
Параграф 1, предпоследний абзац:

Цитата:

Одновременное же задание всех координат и скоростей полностью определяет, как показывает опыт, состояние системы и позволяет в принципе предсказать дальнейшее ее движение. С математической точки зрения это значит, что заданием всех координат $q$ и скоростей $\dot{q}$ в некоторый момент времени однозначно определяется также и значение ускорений $\ddot{q}$ в этот момент.

Не представляю, как, зная только координаты и скорости можно узнать ускорение.
Или я неправильно понимаю смысл прочитанного.

[ИгорЪ]

Это про начальные условия дифура второго порядка.
Ускорение находится дважды дифференцированием координаты.
Опыт, (какой - наверное ответят физики) говорит, что уравнения должны быть не выше второго порядка.
Математически это означает, что лагранжиан не зависит от производных координаты выше первого порядка.

[Munin]

Maxim Vlasov в сообщении #161694 писал(а):

Не представляю, как, зная только координаты и скорости можно узнать ускорение.

Подразумевается, что их можно узнать, зная конкретную физическую систему. Например, пусть у нас есть звезда и планета. Для них можно записать Второй закон Ньютона, по которому сила (и ускорение) определяется расстоянием между ними. Это отвечает ситуации, когда для задания ускорения достаточно задать только координаты. В других ситуациях возможно, когда сила определяется ещё и скоростью, например, сила Лоренца, действующая на заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле. Но не бывает ситуаций, когда для определения сил требуется знать производные выше первой. А определение сил - это и есть определение ускорений.

[Maxim Vlasov]

Т.е., если я правильно понял, это некое общее свойство нашего мира (той части, которая изучается в механике), заключенное в слова "как показывает опыт".
Не готов еще представить силу Лоренца, возможно подходящий для меня аналог - сила трения. И нет зависимости этой силы от ускорения, только от скорости. И так во всем многообразии взаимодействий ?
Удивительный мир

Спасибо, зря сомневался стоит ли спрашивать.

[AlexNew]

Munin писал(а):

Но не бывает ситуаций, когда для определения сил требуется знать производные выше первой. А определение сил - это и есть определение ускорений.

бывает, например в задачке про движение заряженой частицы в собственном поле, там 3-я производная по координате.

[Munin]

Maxim Vlasov в сообщении #161712 писал(а):

Т.е., если я правильно понял, это некое общее свойство нашего мира (той части, которая изучается в механике), заключенное в слова "как показывает опыт".

Да.

AlexNew в сообщении #161765 писал(а):

бывает, например в задачке про движение заряженой частицы в собственном поле, там 3-я производная по координате.

По времени. Но это уже не механика.

[AlexNew]

ну да, по времени
но фазовое пространстжо можно и там ввести

[barga44]

Более точно, чем в Ландау и Лифшице.Нужно кроме координат и скоростей знать еще и точность, с которой они заданы.
То есть, если например вы рассмотрите два биллиардных шара.
Они движутся.
И для одного зададите координату с одной точностью,скажем плюс минус 3 мм,а для второго плюс минус 0.1 мм.
И зададите точность одинаковую для скоростей плюс минус 2 см/сек, то я утверждаю,
что вы получите разный результат через как0й-то интервал времени, если оба 0динаковых шара окажутся в одном и том же месте.Через какой-то интервал времени.
Так как координаты последующие очень сильно зависят от точности их задания в начальный момент времени.
Система очень чувствительна к точности задания начальных данных.
Аналогично, если вы зададите с одинаковой точностью координаты, но с разной точностью скорости.
Мое утверждение справедливо только для тех систем, которые относятся к хаотическим.И к тем, которые имеют отношение к детерминированному хаосу.
Смотрите книгу Шустер Детерминированный хаос.
Утверждение которое вы не понимаете относится к простым линейным системам.Которые не чувствительны к точности задания координат и скоростей.
Считается,что при измении точности задания их траектория не меняется.
Ландау и Лифшиц не знали вообще, что такое понятие детерминированный хаос.Поэтому эта книга уже устарела.
У квантовых систем так же есть сильная чувствительность к заданию начальных данных.
5 том физической энциклопедии.
на стр.397 написано
"В квантовых системах,описываемых линейным уравнением Шредингера, стохастические кролебания невозможны.Однако, еслизарактерные времена перехожных процессов велики(имеется ввиду наверное время установление, когда колебание затухает) может наьлюдаться явление квантового Хаоса.
А что такое квантовый Хаос?
И как не может быть в квантовой системе хаоса, если внешние силы или поля, действующие на систему хаотичны?
А неравенство Гейзенберга, разве оно не говорит о том, что важна точность задания и координаты и импульса?

[Munin]

barga44 в сообщении #162492 писал(а):

Более точно, чем в Ландау и Лифшице.Нужно кроме координат и скоростей знать еще и точность, с которой они заданы.

Это вопросы теории устойчивости. К "идеальной механике" они не относятся, а являются существенным усложнением. Разумно сначала изучать основы, а потом уже переходить к сложным вопросам.

barga44 в сообщении #162492 писал(а):

У квантовых систем так же есть сильная чувствительность к заданию начальных данных.

Это просто неверно. Квантовые системы не хаотические, это хорошо известно.

[Vosoni]

Munin писал(а):

Это просто неверно. Квантовые системы не хаотические, это хорошо известно.

Глупость. Любая система, в том числе и хаотическая, может быть описана на квантовом уровне. Есть большой отдел квантовой механики, занимающийся хаотическими системами, с довольно интересными результатами:

http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_chaos

[Munin]

Vosoni в сообщении #166518 писал(а):

Глупость. Любая система, в том числе и хаотическая, может быть описана на квантовом уровне.

Для этого она должна быть описана как детерминистическая.

Vosoni в сообщении #166518 писал(а):

Есть большой отдел квантовой механики, занимающийся хаотическими системами, с довольно интересными результатами: http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_chaos

Только вот квантовый хаос хаосом не является.

[Vosoni]

Munin писал(а):

Для этого она должна быть описана как детерминистическая.

Уравнение Шредингера детерминистическое (в том смысле, что в нём нет случайных составляющих).

Munin писал(а):

Только вот квантовый хаос хаосом не является.

Почему? Согласно какому определению хаоса? В микроскопических системах теряется смысл рассматривать эволюцию системы из начального состояния, так как начальное состояние нельзя измерить. Но если систама становится макроскопической, то даже при квантовом её описании неопределенность в задании начальных условий может стать больше квантовой неопределенности, и тогда будет работать хаос в классическом понимании даже при квантово-механическом описании. Но в квантовом хаосе, впрочем как и в классическом, обычно интересуются статистическим описанием системы, а не прогнозированием её поведения из начального состояния. И в этом понимании классический и квантовый хаос очень схожи.

[Munin]

Vosoni в сообщении #166569 писал(а):

Согласно какому определению хаоса?

Общепринятому.

[Vosoni]

Munin писал(а):

Общепринятому.

Такого нет. В математике (в эргодической теории) есть с десяток разных подклассов систем, в зависимости от степени их хаотичности. Начиная от эргодичности, и заканчивая точными системами и автоморфизмами Колмогорова. Между ними есть множество промежуточных: перемешивание, слабое перемешивание, и т.д. Смотрите например книгу A. Lasota, M. C. Mackey, "Probabilistic properties of deterministic systems". В математике нет вообще такого термина как "хаотическая система", потому что это слишком общее понятие.

В классической физике на это всё обычно закрывают глаза, и определяют хаотические системы по расходимости траекторий (как правило, экспоненциальному). Но возникает два вопроса: (i) что называть траекторией и (ii) насколько они должны быть расходящимися? Ответ на первый вопрос зависит от того, что выбрать в качестве фазового пространства. Скажем, в классическом бильярде Синая траектории в фазовом пространстве координата-импульс будут расходиться экспоненциально, но если ту же самую систему записать в квантово-механическом представлении через волновые функции, то волновые функции конечно же расходиться не будут (по норме гильбертова пространства). Волновая функция каждой из частиц такой классической задачи в любой момент времени - это дельта-функция, разность двух таких функций всегда будет иметь одну и ту же норму независимо от положения частиц. Соответственно расходимость волновых функций нельзя использовать в качестве определения "хаотичности". А в настоящих квантовых задачах про траектории речь вообще не идет. Поэтому их и изучают статистически, так же, как и в эргодической теории в случае с классическими системами. Но это не значит, что квантовые системы не хаотичны, потому что любая классическая система является приближением квантовой.

А на второй вопрос (скорость расходимости) вообще каждый отвечает по-своему, и тут никакого общепринятого определения нет. Скажем, если траектории расходятся не экспоненциально, а логарифмически, или степенным образом (то есть показатель Ляпунова у системы нулевой), то называть ли такую систему хаотической?

Поэтому я и спросил, что за странное определение вы используете для хаотичности квантовых систем, чтобы утверждать, что они все не хаотичны?

[Munin]

Вы сами вторым абзацем полностью ответили.