задача по УМФ на колебания стержня

[Solar]

найти колебания упругого стержня. один конец жестко закреплен, другой свободен. в начальный момент времени свободный конец получает продольный импульс I.
могу понять какое граничное услови будет для свободного конца и начальные условия(

[Zai]

Задача поставлена некорректно, так как импульс может быть приложен только с изменением граничных условий на конце.
Пусть $u(x,t) - скорость точек стержня
$ \frac { \partial^2 u} {\partial {t^2}} =a^2\frac { \partial^2 u} {\partial {x^2}}
Начальные условия
$ \frac { \partial u(x,0)} {\partial {t}}=0 - в начальный момент времени ускорения равны нулю
$u(x,0)= f(x) - в начальный момент времени скорости везде равны нулю, кроме некоторой области вблизи конечной точки стержня. $ \frac { \partial f(l)} {\partial {x}}=0
$ \int_0^l f(x) dx=I
Граничные условия
$u(0,t)=0
$ \frac { \partial u(l,t)} {\partial {x}}=0

[Solar]

тогда как я понимаю получается:
задача Штурма-Лиувилля X''+λX=0, X'(l)=0, X(0)=0
\lambda n=(\pi(2n+1)/2l))^2, Xn=sin[\pi x(2n+1)/2l]
T''+ \lambda a^2 T=0, Tn=En cos [a (\sqrt \lambda n) t] + Fn sin[ a (\sqrt \lambda n) t]
u(x,t)= \sum Xn(x)Tn(t)= \sum Xn(En cos [a (\sqrt \lambda n) t] + Fn sin[ a (\sqrt \lambda n) t])
u'(x,0)=0=\sum Xn(a \sqrt \lambda n Fn cos[ a (\sqrt \lambda n) t]) ,
u(x,0)=f(x)= \sum Xn(En cos [a (\sqrt \lambda n) t])
а дальше находим константу En