Односторонняя производная на интервале равна нулю.

[alexgol176]

Здравствуйте.
Пусть $f(x)$ – непрерывная на отрезке $[\alpha,\beta]$ функция. Верно ли, что если на интервале $(\alpha,\beta)$ левая производная $f'(x)_+$ равна нулю, то $f(x)$ постоянна на $[\alpha,\beta]$?

Если предполагать наличие и равенство нулю на $(\alpha,\beta)$ обычной производной $f'(x)$, то это следует из теоремы Лагранжа.
А что с односторонними производными?

[mihaild]

Подсказка: есть даже разрывная функция, у которой всюду есть левая производная, равная нулю.

[alexgol176]

mihaild в сообщении #1664376 писал(а):

Подсказка: есть даже разрывная функция, у которой всюду есть левая производная, равная нулю.

Нет, речь идёт именно о непрерывной на отрезке функции $f(x)$, у которой внутри этого отрезка $f'(x)_+=0...$

[drzewo]

Попробуйте повторить рассуждения доказательства теорем Ролля Лагранжа. К чему Вы придете?

[mihaild]

А, да, с непрерывной получается. Для красоты возьмем правую производную вместо левой.
Рассмотрите $X = \{x | \forall y \in [\alpha, x]: |f(y) - f(\alpha) | \leq \frac{y - \alpha}{n}\}$.

[alexgol176]

Благодарю всех участвовавших за подсказки!
Я нашёл доказательство на англоязычном форуме. Оно действительно похоже на доказательство теоремы Лагранжа...