2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Односторонняя производная на интервале равна нулю.
Сообщение10.12.2024, 18:30 
Здравствуйте.
Пусть $f(x)$ – непрерывная на отрезке $[\alpha,\beta]$ функция. Верно ли, что если на интервале $(\alpha,\beta)$ левая производная $f'(x)_+$ равна нулю, то $f(x)$ постоянна на $[\alpha,\beta]$?

Если предполагать наличие и равенство нулю на $(\alpha,\beta)$ обычной производной $f'(x)$, то это следует из теоремы Лагранжа.
А что с односторонними производными?

 
 
 
 Re: Односторонняя производная на интервале равна нулю.
Сообщение10.12.2024, 18:43 
Аватара пользователя
Подсказка: есть даже разрывная функция, у которой всюду есть левая производная, равная нулю.

 
 
 
 Re: Односторонняя производная на интервале равна нулю.
Сообщение10.12.2024, 22:16 
mihaild в сообщении #1664376 писал(а):
Подсказка: есть даже разрывная функция, у которой всюду есть левая производная, равная нулю.


Нет, речь идёт именно о непрерывной на отрезке функции $f(x)$, у которой внутри этого отрезка $f'(x)_+=0...$

 
 
 
 Re: Односторонняя производная на интервале равна нулю.
Сообщение10.12.2024, 22:37 
Попробуйте повторить рассуждения доказательства теорем Ролля Лагранжа. К чему Вы придете?

 
 
 
 Re: Односторонняя производная на интервале равна нулю.
Сообщение10.12.2024, 23:18 
Аватара пользователя
А, да, с непрерывной получается. Для красоты возьмем правую производную вместо левой.
Рассмотрите $X = \{x | \forall y \in [\alpha, x]:  |f(y) - f(\alpha) | \leq \frac{y - \alpha}{n}\}$.

 
 
 
 Re: Односторонняя производная на интервале равна нулю.
Сообщение11.12.2024, 00:00 
Благодарю всех участвовавших за подсказки!
Я нашёл доказательство на англоязычном форуме. Оно действительно похоже на доказательство теоремы Лагранжа...

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group