Сферические случайные блуждания

[maxal]

Руст писал(а):

а вероятность выбора с таким углом пропорционально $(\sin s )^{n-1}$.

Почему, кстати?

Руст писал(а):

Выражая sin(s) через x получается выражение $f_2(x)=const*(2x-x^2)^{(n-1)/2}$. Вроде бы верное рассуждение.

Но вот с эксперементальными числовыми значениями не сходится. Впрочем, моя формула (по которой получается f_2(x)=x/2 при x\leq 2) тоже идет в разрез с экспериментом.

[Руст]

Да кажется сепень n-1 надо заменить на n-2 (n-1 размерность сферы, а размерность гиперподсферы уже n-2). Так, что проверь в таком виде:
$f_2(x)=(2x-x^2)^{(n-2)/2}.$

[maxal]

Руст писал(а):

Да кажется сепень n-1 надо заменить на n-2 (n-1 размерность сферы, а размерность гиперподсферы уже n-2). Так, что проверь в таком виде:
$f_2(x)=(2x-x^2)^{(n-2)/2}.$

Проблема та же: у этой f_2(x) имеется нуль производной на интервале (0,2), что противоречит численным результатам, согласно которым функция распределения является выпуклой (т.е. производная f'_2(x) должна быть строго положительной).

[Руст]

Да при вычислении я ещё потерял якобиан:

$$f_2(x)=\int_0^{\pi } \delta (|x-\cos s|)(\sin s)^{n-2}ds=(\sin s)^{n-3},x=1+\cos s$$

За счёт учёта Якобиана степень уменьшается ещё на 1 и получается:
$f_2(x)=(2x-x^2)^{(n-3)/2}.$
Кажется больше нет ошибок для случая n>=2.

[maxal]

Руст писал(а):

$f_2(x)=(2x-x^2)^{(n-3)/2}.$

Но тогда при n=3 получается $f_2(x)=1$, что дает линейную функцию распределения (как и у меня), но численные результаты нелинейны.

[Руст]

Тогда возможно $f_1=\delta (x^2-1)$, что отражается при вычислении якобиана.

[Руст]

Нашёл ещё одну ошибку при вычислении суммы двух векторов с углом t. Сумма векторов равно 2cos(t/2) а не 1+cos t как вычисляли раньше. Тогда можно написать правильные формулы:
$f_1(x)=\delta (x-1),f_{k+1}(x)=\int_0^{\pi } f_k(y(x,t) (\sin t)^{n-2}dt,$ где y(x,t) находится из $y^2+2y \cos t +1=x^2$. Тогда получается точное значение для второй функции плотности (я считаю только с точностью до постоянного множителя):
$f_2(x)=(\sin t)^{n-2}/\sin{(t/2)}, x=2\cos {\frac t2 }.$
Это даёт (c точностью до множителя)
$f_2(x)=[1-(\frac x2 )^2]^{(n-3)/2} x^{(n-2)/2}.$
Думаю окончательно исправил формулу. В частности функция распределения при n=3 имеет вид: $P(|e_1+e_2|<x)=(x/2)^{3/2}.$
и действительно выпуклая вверх.

[maxal]

Вот теперь более похоже на правду. Но численно вроде как получается функция распределения $\frac{x^2}{4}$.
Ты уверен, что должно быть не
$f_2(x) = [1-(\frac x2 )^2]^{(n-3)/2} x^{(n-1)/2}.$

[Руст]

А у меня получилось не квадратичная функция, а в степени 3/2 для n=3.

[maxal]

Проверь степень x в формуле для f_2(x).

[Руст]

Да степень другая сейчас не требуется извлекать корень как раньше при выражении sin t через cos t, так как выражаем через cos(t/2), поэтому получается:
$f_2(x)=(1-(\frac x2)^2)^{(n-3)/2}x^{n-2}.$
Твоя гипотеза подвердилась.

[Руст]

Вычислил оператор Лапласа от плотности распределения $f_2(r)/r^{n-1}$, он равен $2(n-3)\frac{(4-r^2)^{(n-7)/2}}{r^3}[(r^4-2r^2)(n-4)-8]$. Он равен нулю только при n=3(в этом случае гармоническая плотность, которая не сохранится уже для суммы 3 векторов).