о непрерывности функций

[Anton_Peplov]

drzewo в сообщении #1663218 писал(а):

А еще можно развлечения ради проверить, что $f:X\to Y$ непрерывна в точке $x'$ тогда и только тогда когда

$$x'\in \overline A\Longrightarrow f(x')\in \overline {f(A)},\quad \forall A\subset X$$

Здесь $ \overline A$ - это замыкание $A$?

[drzewo]

конечно

[Anton_Peplov]

Так и думал.
metelev, Вы неправильно поняли сообщение drzewo. $\overline A$ - это замыкание, а не дополнение.
Кстати, у этого свойства есть красивая словесная формулировка: непрерывная функция - та, что сохраняет отношение прикосновения. Но (для metelev) тут надо знать, что такое точки прикосновения и какое отношение они имеют к замыканию множества.

[metelev]

Anton_Peplov
Да, Вы правы, не правильно понял. К тому же не обратил внимания, что его утверждение в обратную сторону, если так можно сказать. Исходное утверждение говорит про переход из образа к прообразу, а здесь наоборот.

Что можно сказать про второе утверждение о непрерывности? Во-первых, если мы уберём замыкания, то уберём содержательную часть. Значит дело именно в них. Далее, замыкание это добавление граничных точек. А границу можно трактовать как предел последовательности. То есть это утверждение о том, что образ предела последовательности из исходного множества должен быть равен пределу последовательности образов чтобы была непрерывность. Как-то так.

[drzewo]

metelev в сообщении #1663303 писал(а):

Далее, замыкание это добавление граничных точек. А границу можно трактовать как предел последовательности.

Как все плохо-то.

[Anton_Peplov]

drzewo в сообщении #1663345 писал(а):

metelev в сообщении #1663303 писал(а):

Далее, замыкание это добавление граничных точек. А границу можно трактовать как предел последовательности.

Как все плохо-то.

Формулировка, конечно, отвратительная. Предел последовательности (точек) - это точка, а граница - это множество точек.

Но за этой формулировкой просматривается мысль. metelev, вероятно, хотел сказать, что к каждой граничной точке множества $A$ сходится последовательность точек множества $A$. И в $\mathbb R$ это действительно так.

(Оффтоп)

Более точно, это так в пространствах Фреше-Урысона, частным случаем которых являются метрические (точнее, метризуемые). Но ТС интересует $\mathbb R$, а не дебри общей топологии, поэтому прячу в оффтоп