Задача из Ландау, Лифшиц т.2

[GAA]

amon в сообщении #1663124 писал(а):

Если решать исходную систему уравнений так, как учат на втором курсе

То изначально мы имеем четыре линейных уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение $k^4 +(2\omega_0^2+\omega_C^2)k^2 +\omega_0^4=0$ будет иметь четыре корня.

$$k_{1,2,3,4}=\pm i\sqrt{\omega_0^2+\frac{\omega_C^2}{2}\pm\omega_C\sqrt{\frac{\omega_C^2}{4}+\omega_0^2}},\,\omega_C=\frac{eH}{mc}.$$

или, $k = i\omega$,

$$\omega_{1,2,3,4}=\pm \sqrt{\omega_0^2+\frac{\omega_C^2}{2}\pm\omega_C\sqrt{\frac{\omega_C^2}{4}+\omega_0^2}},\,\omega_C=\frac{eH}{mc}.$$

[amon]

GAA в сообщении #1663158 писал(а):

То изначально мы имеем четыре линейных уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами.

Именно так. Потом частоты, отличающиеся знаком ($\pm \omega_i$), соберутся в синусы и косинусы, и останутся те две частоты, которые я написал.

[мат-ламер]

amon в сообщении #1663157 писал(а):

Я вот чего ни как не не соображу. Почему трюк с домножением на $i$ и складыванием уравнений приводит к неправильному ответу?

Потому как после такого крюка мы получаем уравнение не эквивалентное исходной системе. Оно лишь является следствием исходной системы.

[amon]

мат-ламер в сообщении #1663198 писал(а):

Потому как после такого трюка мы получаем уравнение не эквивалентное исходной системе.

Можно не складывать, а вычитать. Получится второе уравнение, получающееся из первого комплексным сопряжением. Эта система эквивалентна исходной. Тогда, например, $x(t)=\frac{1}{2}(\xi+\xi^*)=\operatorname{Re}\xi,$ и, казалось бы, одного уравнения достаточно.

[мат-ламер]

amon в сообщении #1663202 писал(а):

Можно не складывать, а вычитать.

Можно и вычитать. Имеем систему двух характеристических уравнений: $\lambda ^2 +a - b\mu = 0$ и $\mu ^2 + a +b\lambda =0$ (где $a=\omega_0^2$ и $b=eH/mc$ ). Вычитая, получаем уравнение $(\lambda +\mu)(\lambda-\mu-b)=0 $ .

Первая скобка приводит к уравнению $\lambda^2 +b\lambda +a =0$ с корнями $\lambda_{1,2}=( -b \pm \sqrt{b^2-4a} )/2$ . Вторая скобка приводит к уравнению $\lambda^2-b\lambda +a+b^2=0$ с корнями $\lambda_{3,4}=( b \pm \sqrt{-3b^2-4a} )/2$ . Частоты можно подсчитать через мнимые части корней.

Надо будет перепроверить.

[Cos(x-pi/2)]

Думаю, оба ответа это один и тот же правильный ответ, потому что (как увидим после возведения обеих сторон равенства в квадрат)

$$\sqrt{1+\frac{x^2}{2}\pm x\sqrt{\frac{x^2}{4}+1}}\,=\,\sqrt{1+\frac{x^2}{4}}\pm \frac{x}{2}$$

[amon]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1663208 писал(а):

Думаю, оба ответа это один и тот же правильный ответ

Вы правы! Забавно, на глаз - совсем разные.

[Утундрий]

Больше всего меня позабавили сомнения в том, что два действительных числа можно сопоставить одному комплексному

[pppppppo_98]

мат-ламер в сообщении #1663198 писал(а):

Потому как после такого крюка мы получаем уравнение не эквивалентное исходной системе. Оно лишь является следствием исходной системы.

счего бы вддруг переход от действительных к комплексным чмслам делает систему неэквивалентной... судны дела тво господи

-- Сб ноя 30, 2024 02:07:24 --

Утундрий в сообщении #1663211 писал(а):

Больше всего меня позабавили сомнения в том, что два действительных числа можно сопоставить одному комплексному

это да... и не симметрия по времени тоже порадовала без замены знака H.

[realeugene]

Утундрий в сообщении #1663211 писал(а):

Больше всего меня позабавили сомнения в том, что два действительных числа можно сопоставить одному комплексному

А сумму двух комплексных одному действительному.

-- 30.11.2024, 10:06 --

Fall в сообщении #1663096 писал(а):

То есть, можно сказать, что Ландау просто использует такой формат записи для того, чтобы получить неотрицательные частоты?

Отрицательная частота означает вращение в противоположную сторону. В магнитном поле это наверное невозможно, но в саму вашу задачу глубоко не вникал. Где в ней вращение в "правильную" сторону

[mihiv]

Как отметил realeugene

realeugene в сообщении #1663239 писал(а):

Отрицательная частота означает вращение в противоположную сторону.

Решения $\xi $с частотами $\omega _1,\omega _2$, полученные в ЛЛ2., описывают движения заряда по окружности, но в противоположных направлениях. При этом сила Лоренца в одном случае направлена к центру вращения, а в другом случае - от центра, в результате частоты обращения получаются различными.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1663204 писал(а):

Надо будет перепроверить.

Перепроверил.

мат-ламер в сообщении #1663204 писал(а):

Можно и вычитать. Имеем систему двух характеристических уравнений: $\lambda ^2 +a - b\mu = 0$ и $\mu ^2 + a +b\lambda =0$

Это уже неверно. Приношу извинения.

[peregoudov]

mihiv в сообщении #1663261 писал(а):

Как отметил realeugene

Цитата:

Отрицательная частота означает вращение в противоположную сторону.

Решения $\xi $с частотами $\omega _1,\omega _2$, полученные в ЛЛ2., описывают движения заряда по окружности, но в противоположных направлениях.

Только вы почему-то не заметили, что у ЛЛ2 как раз обе частоты положительны, то есть оба вращения в одном и том же направлении. Частоты разного знака в решении у автора темы. И ровно это отличие от решения Ландау он и просит пояснить.

[mihiv]

Уравнение для определения частот имеет два корня :$\omega _1>0$ и $\omega _2<0$. Частоте $\omega _1$ соответствует решение $\xi _1=x(t)+iy(t)=a\cos \omega _1t+ia\sin \omega _1t$. Это вращение по окружности радиуса $a$ против часовой стрелки.
Второе решение $\xi _2=a\cos \omega _2t+ia\sin \omega _2t=a\cos |\omega _2|t-ia\sin |\omega _2|t$. Это вращение по окружности радиуса $a$ по часовой стрелке.
То есть отрицательную частоту можно интерпретировать, как вращение с частотой $|\omega _2|$в противоположном направлении.

[chislo_avogadro]

Если положить $H=0$, то решение $\omega = \pm \omega_0$. Движение в этом случае не обязательно круговое, скорее просто колебательное вдоль к-л оси на $xy$. Что за смысл тогда в этой $-\omega_0$? Интересен, наверное, лишь модуль...