о непрерывности функций

[metelev]

Читаю книгу Шутц Б. "Геометрические методы математической физики". На стр. 21 вижу такой текст:

Цитата:

Условие непрерывности отображения на всём $M$ даже легче формулировать, чем условие непрерывности в одной точке: имеется теорема, что $f\colon M\to N$ непрерывно, если и только если прообраз каждого открытого множества из $N$ открыт в $M$.

И у меня сразу в голове вопрос возникает, а как же, если максимум? В точке максимума мы ничего не можем сказать про то, непрерывна ли функция, если пользоваться этим языком? В отличие от языка $\varepsilon$ - $\delta$

[Anton_Peplov]

Это условие - не "локальное", оно гарантирует непрерывность функции сразу во всех точках области определения, а не в какой-то одной.
Если прообраз каждого открытого множества из области значений открыт, то функция непрерывна во всей области определения. Не важно, где у нее экстремумы и есть ли они.

[mihaild]

metelev в сообщении #1663179 писал(а):

а как же, если максимум?

Что максимум, где максимум, зачем максимум? Сформулируйте более полно (возможно Вы ссылаетесь на какой-то максимум, понятный из контекста книги, но тут-то этого контекста нет).

metelev в сообщении #1663179 писал(а):

В точке максимума мы ничего не можем сказать про то, непрерывна ли функция, если пользоваться этим языком?

Если пользоваться этим определением, то говорить о непрерывности функции в точке вообще нельзя.
На языке топологии, функция непрерывна в точке если прообраз любого открытого множества, содержащего образ, включает некоторую окрестность точки. И тут с точками максимума никаких проблем нет (и быть не может, потому что наше определение чисто топологическое, от порядка не зависящее совсем).

[Anton_Peplov]

mihaild в сообщении #1663181 писал(а):

Если пользоваться этим определением, то говорить о непрерывности функции в точке вообще нельзя.

Можно, но это будет отдельное свойство. Т.е. "функция непрерывна" и "функция непрерывна в точке" - это будут разные вещи. Непрерывность в точке топологически определяется так: функция $f \colon X \to Y$ непрерывна в т. $x_0$, если для всякой окрестности $U$ точки $y_0 = f(x_0)$ найдется окрестность $V$ точки $x_0$ такая, что $f(V) \subset U$ (в этом определении нетрудно узнать перевод с языка "эпсилон-дельта" на топологический). И уже потом доказывается отдельной теоремой: функция непрерывна, если и только если она непрерывна в каждой точке области определения.

[metelev]

Anton_Peplov в сообщении #1663180 писал(а):

Если прообраз каждого открытого множества из области значений открыт

Спасибо за ответ.

Каждого открытого множества из области значений. Допустим у нас есть отображение в котором один максимум. Я представляю себе это отображение как обычную функцию с осями $X$ и $Y$, непрерывное и с одним максимумом где-то посерединке. Две точки в этом отображении могут отображаться в одну. В обычном, бытовом смысле, этот максимум ничем не примечателен. Но в точке максимума открытую область на оси $Y$ никак не сделать. Для точки максимума в области значений невозможно указать открытую область, правильно ведь? Вот я про это.

-- 29.11.2024, 13:43 --

mihaild в сообщении #1663181 писал(а):

если прообраз любого открытого множества, содержащего образ

Спасибо. У Вас немного другая формулировка. Слова "содержащего образ" всё меняют. Но только разве в этом случае не получится, что разрыв в некоторой точке $x_0$ не получится отловить при помощи открытых областей?

[Anton_Peplov]

metelev в сообщении #1663184 писал(а):

Но в точке максимума открытую область на оси $Y$ никак не сделать.

Что могут означать слова "сделать открытую область на оси $Y$ в какой-то точке"? Образ точки на оси абсцисс - это точка на оси ординат. По определению функции. Образом одной точки никак не может быть область.

Давайте на примере. Вот функция $y = -x^2$. У нее один максимум в точке $x = 0$. Покажите, где Вы пытаетесь "сделать открытую область" и что у Вас не получается.

[mihaild]

Anton_Peplov в сообщении #1663183 писал(а):

Можно, но это будет отдельное свойство

Это и называется "пользоваться другим определением".

metelev в сообщении #1663184 писал(а):

Но только разве в этом случае не получится, что разрыв в некоторой точке $x_0$ не получится отловить при помощи открытых областей?

Получится. Учтите, что открытое множество обязано содержать образ, но не обязано лежать в нём (и часто не лежит).
Вот взяли функцию $f(x) = \begin{cases} 1 & x = 0 \\ 0\end{cases}$. Взяли точку $x = 0$. Её образ $f(0) = 1$. Вопрос: можете ли Вы найти открытое множество $U$, содержащее $1$, такое что его прообраз, $f^{-1}(U)$, не содержит никакой окрестности очки $0$?

[drzewo]

Для справки.

$$f(x)=x^2,\quad f^{-1}(-1,1)=(-1,1),\quad f^{-1}(-1,0)=\emptyset,\quad f^{-1}(0,1)=(-1,1)\backslash\{0\}$$

[metelev]

Спасибо большое за ответы

Anton_Peplov в сообщении #1663185 писал(а):

Давайте на примере. Вот функция $y = -x^2$. У нее один максимум в точке $x = 0$. Покажите, где Вы пытаетесь "сделать открытую область" и что у Вас не получается.

Вопрос в том, идёт ли в определении речь об области значений функции или обо всей оси $Y$. Вот mihaild понял, что я хотел сказать, хотя я его не вполне понял.

Так вот, если говорить о Вашем примере, область значений от $-\infty$ до 0. Ноль это граница области, и она содержится в области значений. Область не является открытой.

Если мы исключим границу, будем брать только открытые области из области значений, то как мы установим, что в нуле функция непрерывна? (Я уже понял, что так неправильно делать, просто для полноты картины)

Если речь идёт о всей оси $Y$, не только об области значений функции, то как раз появляется вопрос, который мне интересен. Но я уже, кажется, понял.

mihaild в сообщении #1663189 писал(а):

Вопрос: можете ли Вы найти открытое множество $U$, содержащее $1$, такое что его прообраз, $f^{-1}(U)$, не содержит никакой окрестности очки $0$?

Его прообраз всегда будет содержать одну точку, ноль. Так ведь? У остальных точек открытого множества $U$ не будет никакого прообраза. Поэтому вопрос я не понял, прообраз всегда не содержит окрестности точки $0$, если только область $U$ не захватывает ещё одну точку образа.

Напишу теперь про то, что я понял. Допустим, если взять $f(x) = \begin{cases} y=x & x \le 0 \\ y=x+1 & x>0 \end{cases}$. И вокруг 0 небольшую открытую область на оси $Y$. Прообраз этой области будет иметь границу.

В то же время если вернуться к примеру Антона Пеплова, с максимумом, то прообраз такой области будет открытым.

Так что определение учитывает оба этих случая

Вот не знаю как это устроено, почему-то доходит в процессе разговора, а когда сам про такие вещи думаешь, не хватает чего-то. Так что хочу ещё раз всех поблагодарить. И Вас тоже, drzewo

[Anton_Peplov]

metelev в сообщении #1663215 писал(а):

Если мы исключим границу, будем брать только открытые области из области значений, то как мы установим, что в нуле функция непрерывна?

Функция $f \colon X \to Y$ непрерывна в т. $x_0$, если для всякой окрестности $U$ точки $y_0 = f(x_0)$ найдется окрестность $V$ точки $x_0$ такая, что $f(V) \subset U$

Дано, что для функции $y = -x^2$ прообраз всякого открытого множества открыт. Рассмотрите произвольную окрестность $U$ точки $y_0 = 0$ и найдите окрестность $V$ точки $x_0 = 0$ такую, что $f(V) \subset U$.

[drzewo]

А еще можно развлечения ради проверить, что $f:X\to Y$ непрерывна в точке $x'$ тогда и только тогда когда

$$x'\in \overline A\Longrightarrow f(x')\in \overline {f(A)},\quad \forall A\subset X$$

[mihaild]

metelev в сообщении #1663215 писал(а):

Его прообраз всегда будет содержать одну точку, ноль. Так ведь?

Нет конечно. Открытых множеств, содержащих $1$, много. Например $\mathbb R$.

metelev в сообщении #1663215 писал(а):

Поэтому вопрос я не понял, прообраз всегда не содержит окрестности точки $0$

Непонятно, чего Вы не поняли :). Всё правильно.

[metelev]

Anton_Peplov
Я там в скобочках написал, что уже всё понятно. Спасибо.

drzewo
Ну наверное да. Только наверное как-то более аккуратно надо написать. Сказать что область $A$ замкнутая. Тогда её отрицание будет открытой областью и получится буквальное повторение того же начального утверждения.

mihaild
Спасибо.

[drzewo]

(Оффтоп)

metelev в сообщении #1663230 писал(а):

Ну наверное да. Только наверное как-то более аккуратно надо написать. Сказать что область $A$ замкнутая. Тогда её отрицание будет открытой областью

Так Вы, оказывается, специалист :)
а я думал, Вы с вопросами пришли.

[metelev]

(Оффтоп)

drzewo в сообщении #1663232 писал(а):

Так Вы, оказывается, специалист :)
а я думал, Вы с вопросами пришли.

Просто лет мне уже много, и я время от времени пытаюсь усовершенствовать знания, так что могу предположить, где может быть подвох. Так-то я на самом деле не понимал то, что спрашивал.