2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 о непрерывности функций
Сообщение29.11.2024, 13:20 
Аватара пользователя


20/03/12
274
СПб
Читаю книгу Шутц Б. "Геометрические методы математической физики". На стр. 21 вижу такой текст:

Цитата:
Условие непрерывности отображения на всём $M$ даже легче формулировать, чем условие непрерывности в одной точке: имеется теорема, что $f\colon M\to N$ непрерывно, если и только если прообраз каждого открытого множества из $N$ открыт в $M$.


И у меня сразу в голове вопрос возникает, а как же, если максимум? В точке максимума мы ничего не можем сказать про то, непрерывна ли функция, если пользоваться этим языком? В отличие от языка $\varepsilon$ - $\delta$

 Профиль  
                  
 
 Re: о непрерывности функций
Сообщение29.11.2024, 13:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8579
Это условие - не "локальное", оно гарантирует непрерывность функции сразу во всех точках области определения, а не в какой-то одной.
Если прообраз каждого открытого множества из области значений открыт, то функция непрерывна во всей области определения. Не важно, где у нее экстремумы и есть ли они.

 Профиль  
                  
 
 Re: о непрерывности функций
Сообщение29.11.2024, 13:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9180
Цюрих
metelev в сообщении #1663179 писал(а):
а как же, если максимум?
Что максимум, где максимум, зачем максимум? Сформулируйте более полно (возможно Вы ссылаетесь на какой-то максимум, понятный из контекста книги, но тут-то этого контекста нет).
metelev в сообщении #1663179 писал(а):
В точке максимума мы ничего не можем сказать про то, непрерывна ли функция, если пользоваться этим языком?
Если пользоваться этим определением, то говорить о непрерывности функции в точке вообще нельзя.
На языке топологии, функция непрерывна в точке если прообраз любого открытого множества, содержащего образ, включает некоторую окрестность точки. И тут с точками максимума никаких проблем нет (и быть не может, потому что наше определение чисто топологическое, от порядка не зависящее совсем).

 Профиль  
                  
 
 Re: о непрерывности функций
Сообщение29.11.2024, 13:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8579
mihaild в сообщении #1663181 писал(а):
Если пользоваться этим определением, то говорить о непрерывности функции в точке вообще нельзя.
Можно, но это будет отдельное свойство. Т.е. "функция непрерывна" и "функция непрерывна в точке" - это будут разные вещи. Непрерывность в точке топологически определяется так: функция $f \colon X \to Y$ непрерывна в т. $x_0$, если для всякой окрестности $U$ точки $y_0 = f(x_0)$ найдется окрестность $V$ точки $x_0$ такая, что $f(V) \subset U$ (в этом определении нетрудно узнать перевод с языка "эпсилон-дельта" на топологический). И уже потом доказывается отдельной теоремой: функция непрерывна, если и только если она непрерывна в каждой точке области определения.

 Профиль  
                  
 
 Re: о непрерывности функций
Сообщение29.11.2024, 13:38 
Аватара пользователя


20/03/12
274
СПб
Anton_Peplov в сообщении #1663180 писал(а):
Если прообраз каждого открытого множества из области значений открыт


Спасибо за ответ.

Каждого открытого множества из области значений. Допустим у нас есть отображение в котором один максимум. Я представляю себе это отображение как обычную функцию с осями $X$ и $Y$, непрерывное и с одним максимумом где-то посерединке. Две точки в этом отображении могут отображаться в одну. В обычном, бытовом смысле, этот максимум ничем не примечателен. Но в точке максимума открытую область на оси $Y$ никак не сделать. Для точки максимума в области значений невозможно указать открытую область, правильно ведь? Вот я про это.

-- 29.11.2024, 13:43 --

mihaild в сообщении #1663181 писал(а):
если прообраз любого открытого множества, содержащего образ


Спасибо. У Вас немного другая формулировка. Слова "содержащего образ" всё меняют. Но только разве в этом случае не получится, что разрыв в некоторой точке $x_0$ не получится отловить при помощи открытых областей?

 Профиль  
                  
 
 Re: о непрерывности функций
Сообщение29.11.2024, 13:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8579
metelev в сообщении #1663184 писал(а):
Но в точке максимума открытую область на оси $Y$ никак не сделать.
Что могут означать слова "сделать открытую область на оси $Y$ в какой-то точке"? Образ точки на оси абсцисс - это точка на оси ординат. По определению функции. Образом одной точки никак не может быть область.

Давайте на примере. Вот функция $y = -x^2$. У нее один максимум в точке $x = 0$. Покажите, где Вы пытаетесь "сделать открытую область" и что у Вас не получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: о непрерывности функций
Сообщение29.11.2024, 14:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9180
Цюрих
Anton_Peplov в сообщении #1663183 писал(а):
Можно, но это будет отдельное свойство
Это и называется "пользоваться другим определением".
metelev в сообщении #1663184 писал(а):
Но только разве в этом случае не получится, что разрыв в некоторой точке $x_0$ не получится отловить при помощи открытых областей?
Получится. Учтите, что открытое множество обязано содержать образ, но не обязано лежать в нём (и часто не лежит).
Вот взяли функцию $f(x) = \begin{cases} 1 & x = 0 \\ 0\end{cases}$. Взяли точку $x = 0$. Её образ $f(0) = 1$. Вопрос: можете ли Вы найти открытое множество $U$, содержащее $1$, такое что его прообраз, $f^{-1}(U)$, не содержит никакой окрестности очки $0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: о непрерывности функций
Сообщение29.11.2024, 15:10 


21/12/16
862
Для справки.
$$f(x)=x^2,\quad f^{-1}(-1,1)=(-1,1),\quad f^{-1}(-1,0)=\emptyset,\quad f^{-1}(0,1)=(-1,1)\backslash\{0\}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: о непрерывности функций
Сообщение29.11.2024, 19:15 
Аватара пользователя


20/03/12
274
СПб
Спасибо большое за ответы

Anton_Peplov в сообщении #1663185 писал(а):
Давайте на примере. Вот функция $y = -x^2$. У нее один максимум в точке $x = 0$. Покажите, где Вы пытаетесь "сделать открытую область" и что у Вас не получается.


Вопрос в том, идёт ли в определении речь об области значений функции или обо всей оси $Y$. Вот mihaild понял, что я хотел сказать, хотя я его не вполне понял.

Так вот, если говорить о Вашем примере, область значений от $-\infty$ до 0. Ноль это граница области, и она содержится в области значений. Область не является открытой.

Если мы исключим границу, будем брать только открытые области из области значений, то как мы установим, что в нуле функция непрерывна? (Я уже понял, что так неправильно делать, просто для полноты картины)

Если речь идёт о всей оси $Y$, не только об области значений функции, то как раз появляется вопрос, который мне интересен. Но я уже, кажется, понял.

mihaild в сообщении #1663189 писал(а):
Вопрос: можете ли Вы найти открытое множество $U$, содержащее $1$, такое что его прообраз, $f^{-1}(U)$, не содержит никакой окрестности очки $0$?


Его прообраз всегда будет содержать одну точку, ноль. Так ведь? У остальных точек открытого множества $U$ не будет никакого прообраза. Поэтому вопрос я не понял, прообраз всегда не содержит окрестности точки $0$, если только область $U$ не захватывает ещё одну точку образа.

Напишу теперь про то, что я понял. Допустим, если взять $f(x) = \begin{cases} y=x & x \le 0 \\ y=x+1 & x>0 \end{cases}$. И вокруг 0 небольшую открытую область на оси $Y$. Прообраз этой области будет иметь границу.

В то же время если вернуться к примеру Антона Пеплова, с максимумом, то прообраз такой области будет открытым.

Так что определение учитывает оба этих случая

Вот не знаю как это устроено, почему-то доходит в процессе разговора, а когда сам про такие вещи думаешь, не хватает чего-то. Так что хочу ещё раз всех поблагодарить. И Вас тоже, drzewo

 Профиль  
                  
 
 Re: о непрерывности функций
Сообщение29.11.2024, 19:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8579
metelev в сообщении #1663215 писал(а):
Если мы исключим границу, будем брать только открытые области из области значений, то как мы установим, что в нуле функция непрерывна?

Функция $f \colon X \to Y$ непрерывна в т. $x_0$, если для всякой окрестности $U$ точки $y_0 = f(x_0)$ найдется окрестность $V$ точки $x_0$ такая, что $f(V) \subset U$

Дано, что для функции $y = -x^2$ прообраз всякого открытого множества открыт. Рассмотрите произвольную окрестность $U$ точки $y_0 = 0$ и найдите окрестность $V$ точки $x_0 = 0$ такую, что $f(V) \subset U$.

 Профиль  
                  
 
 Re: о непрерывности функций
Сообщение29.11.2024, 19:53 


21/12/16
862
А еще можно развлечения ради проверить, что $f:X\to Y$ непрерывна в точке $x'$ тогда и только тогда когда
$$x'\in \overline A\Longrightarrow f(x')\in \overline {f(A)},\quad \forall A\subset X$$

 Профиль  
                  
 
 Re: о непрерывности функций
Сообщение29.11.2024, 20:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9180
Цюрих
metelev в сообщении #1663215 писал(а):
Его прообраз всегда будет содержать одну точку, ноль. Так ведь?
Нет конечно. Открытых множеств, содержащих $1$, много. Например $\mathbb R$.
metelev в сообщении #1663215 писал(а):
Поэтому вопрос я не понял, прообраз всегда не содержит окрестности точки $0$
Непонятно, чего Вы не поняли :). Всё правильно.

 Профиль  
                  
 
 Re: о непрерывности функций
Сообщение30.11.2024, 05:31 
Аватара пользователя


20/03/12
274
СПб
Anton_Peplov
Я там в скобочках написал, что уже всё понятно. Спасибо.

drzewo
Ну наверное да. Только наверное как-то более аккуратно надо написать. Сказать что область $A$ замкнутая. Тогда её отрицание будет открытой областью и получится буквальное повторение того же начального утверждения.

mihaild
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: о непрерывности функций
Сообщение30.11.2024, 05:50 


21/12/16
862

(Оффтоп)

metelev в сообщении #1663230 писал(а):
Ну наверное да. Только наверное как-то более аккуратно надо написать. Сказать что область $A$ замкнутая. Тогда её отрицание будет открытой областью


Так Вы, оказывается, специалист :)
а я думал, Вы с вопросами пришли.

 Профиль  
                  
 
 Re: о непрерывности функций
Сообщение30.11.2024, 06:13 
Аватара пользователя


20/03/12
274
СПб

(Оффтоп)

drzewo в сообщении #1663232 писал(а):
Так Вы, оказывается, специалист :)
а я думал, Вы с вопросами пришли.


Просто лет мне уже много, и я время от времени пытаюсь усовершенствовать знания, так что могу предположить, где может быть подвох. Так-то я на самом деле не понимал то, что спрашивал.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group