Байесовская вероятность и задача с охотником

[SomePupil]

Задача из книжечки с методическими рекомендациями:

Цитата:

У охотника есть две собаки. Однажды, заблудившись в лесу, он вышел на развилку. Охотник знает, что каждая из собак с вероятностью p выберет дорогу домой. Он решил выпустить собак по очереди. Если обе выберут одну и ту же дорогу, он пойдет за ними; если же они разделятся, охотник выберет дорогу, кинув монетку. Увеличит ли таким способом охотник свои шансы выбрать дорогу домой, по сравнению с тем, как если бы у него была одна собака?

Официальное решение:
Вероятность выбрать верный путь, имея одну собаку, равна $p$. Вероятность выбрать верную дорогу, если действовать указанным способом, имея двух собак, равна

$$p\cdot p + p \cdot (1-p)\cdot \frac{1}{2}+(1-p)\cdot p \cdot\frac{1}{2}=p\cdot p + 2 \cdot \frac{p}{2}(1-p)=p,$$

где $p\cdot p\;-$ вероятность того, что обе собаки выберут правильную дорогу, а $p(1-p)$ и $(1-p)p\;-$ вероятности того, что только одна из собак выбрала верную дорогу. Получаем, что вероятности в двух случаях равны. Ответ: не увеличит.

У меня вопрос вызывает указанная вероятность, когда только одна из собак выбирает правильную дорогу. По условию, вероятность того, что собака найдет правильную дорогу, равна $p.$ Почему наличие второй собаки и факт того, что она выбрала другую дорогу, волшебным образом должна уменьшать исходную вероятность до $p(1-p)$? Ведь способности первой собаки никак не зависят от наличия/отсутствия второй.

Конкретно я утешил себя тезисами байесовской вероятности. Например, тут идейно правильно написали:

Цитата:

В байесовском подходе предполагается, что случайность характеризует наше незнания. Например, случайность при бросании кости связана с незнанием динамических характеристик игральной кости, сопротивления воздуха и так далее.

То есть, можно ли в данном случае сказать, что уменьшение вероятности от $p$ до $p(1-p)$ обусловлена нашим незнанием правильной дороги, а также того, какая именно из собак выбрала верную дорогу? Как это обобщается в случае не развилки, а когда есть великое множество дорог, и ничто не гарантирует, что охотник вообще найдет дорогу домой?

[iifat]

SomePupil в сообщении #1663171 писал(а):

Почему наличие второй собаки и факт того, что она выбрала другую дорогу, волшебным образом должна уменьшать исходную вероятность до $p(1-p)$?

Ну, то есть тот факт, что вторая собака, как и первая, выбрала правильную дорогу, уменьшает вероятность с $p$ до $p^2$, вас не тревожит? Вероятность того, что первая собака выбрала правильную дорогу, равна $p^2+p(1-p)$, то бишь, $p$.

[SomePupil]

iifat, тревожит. И гложет душу. И мне очень стыдно, но я не понимаю смысла выражения $p^2+p(1-p).$ Собаки ведь выбрали разные пути. Слагаемое $p^2$ отвечает за что? Они (собаки) ведь не могу обе быть правы одновременно. Алгебраическими манипуляциями я могу правильные выражения составить. Но важен ведь смысол.

[ShMaxG]

SomePupil
Вероятность пересечения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

[mihaild]

SomePupil в сообщении #1663177 писал(а):

Собаки ведь выбрали разные пути. Слагаемое $p^2$ отвечает за что?

Нет. Мы считаем вероятность того, что первая собака выбрала правильный путь. Слагаемое $p^2$ отвечает за вариант "обе выбрали правильный путь", а $p(1 - p)$ - "первая выбрала правильный путь, а вторая нет".