Логарифмическая спираль

[drzewo]

По горизонтальной плоскости движется частица массой $m$. Со стороны плоскости на частицу действует сила анизотропного сухого трения:

$$ \boldsymbol F=-kmg\frac{(\boldsymbol v,\boldsymbol e_\varphi)}{|\boldsymbol v|}\boldsymbol e_\varphi,\quad |\boldsymbol v|\ne 0,\quad k>0,$$

Здесь $\boldsymbol e_\varphi$ -- единичный орт полярной системы координат; $\boldsymbol v$ -- скорость частицы.

Доказать, что среди траекторий системы имеется логарифмическая спираль, по которой частица накручивается на центр бесконечное число раз.

(Оффтоп)

Задача несложная, но обнаружить эту штуку было весело.

[lel0lel]

drzewo в сообщении #1662352 писал(а):

$$ \boldsymbol F=-kmg\frac{(\boldsymbol v,\boldsymbol e_\varphi)}{|\boldsymbol v|}\boldsymbol e_\varphi,\quad |\boldsymbol v|\ne 0,\quad k>0,$$

В знаменателе модуль скорости точно нужен? При поиске решения в параметрическом виде, из-за этого модуля экспонента в силе бесследно исчезает.

[drzewo]

lel0lel в сообщении #1662465 писал(а):

В знаменателе модуль скорости точно нужен?

да, нужен

[lel0lel]

Уравнения движения в полярных координатах:
$\ddot{r}-r\dot{\varphi}^2=0, r\ddot{\varphi}+2\dot{r}\dot{\varphi}=-kgv_{\varphi}/v, v_{\varphi}=r\dot\varphi, v=\sqrt{\dot{r}^2+r^2\dot\varphi^2}$
Пусть $r(t)=r_0e^{\sqrt{2}\varphi(t)}$, где $\varphi(t)$ убывающая функция на своей области определения, то есть $\dot{\varphi}(t)<0$ и $\varphi(0)=0$. Уравнения принимают вид:

$$\ddot{\varphi}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\dot{\varphi}^2,\,\,\,\,\, 3r_0e^{\sqrt{2}\varphi}\dot\varphi^2=kg.$$

Обозначим $|\dot\varphi(0)|=u$. Проверкой можно убедиться, что, при условии $3r_0 u^2=kg$, есть решение

$$\varphi(t)=\sqrt{2}\log\left(1-\frac{ut}{\sqrt{2}}\right),\,\,\, t\leq \frac{\sqrt{2}}{u}$$

В пределе $t\to \frac{\sqrt{2}}{u}$ угол $\varphi$ стремится к минус бесконечности; частица достигает начала координат за конечное время, совершая бесконечное число витков. При этом $r(t)=r_0(1-ut/\sqrt{2})^2$.

[drzewo]

уменя, кажется, другое решение: https://dropmefiles.com/kM0lW
было бы неплохо найти все логарифмические спирали

[EUgeneUS]

drzewo
Проверил Ваше решение прямой подстановкой.
Далее зададимся вопросом, для каких начальных условий $r_0, \varphi_0, \mathbf{v}_0$ применимы найденные $r(t), \varphi(t)$?

И окажется, что найденные решения
А) покрывают любые $r_0, \varphi_0$
Б) но, с другой стороны, требуют вполне конкретной $\mathbf{v}_0$ при выбранных $r_0, \varphi_0$

Что будет, если $\mathbf{v}_0$ будет другой, так и осталось неизвестным.

[lel0lel]

drzewoсообщении #1662936 писал(а):

было бы неплохо найти все логарифмические спирали

По-моему, получится одна и та же спираль, с точностью до поворотов и зеркального отражения.

[drzewo]

lel0lel в сообщении #1662953 писал(а):

По-моему, получится одна и та же спираль, с точностью до поворотов и зеркального отражения.

вероятно так

[drzewo]

EUgeneUS в сообщении #1662942 писал(а):

Что будет, если $\mathbf{v}_0$ будет другой, так и осталось неизвестным.

думаю, что точка остановится за конечное время, если только скорость не направлена в точности радиально. Это надо доказывать, конечно. В задачах с сухим трением, часто представляет интерес динамика при $t\to-\infty$

[EUgeneUS]

Некоторые соображения. Какие-то доказаны, а какие-то нет
1. Общее решение должно содержать четыре независимых константы интегрирования.
2. Из них:
А) одна - поворот на угол $\varphi_0$.
Б) сдвиг по времени на $t_0$.
В) еще две определяют форму траектории.
То есть
$r = f((\varphi(t-t_0) - \varphi_0), A, B)$
3. Параметр $\sigma$ - масштабный параметр.
Заменой $\rho = \sigma r$ исключается из уравнений.

-- 27.11.2024, 21:36 --

4. Построение решения в виде логарифмической спирали, как сделал уважаемый lel0lel гарантирует, что никаких других решений в точности совпадающих с логарифмической спиралью - нет.
5. Отсюда следует, что в каждой точке $(r_0, \varphi_0)$, кроме центра, есть ровно один вектор $\mathbf{v_0}$, который приводит к движению по логарифмической спирали.

-- 27.11.2024, 21:40 --

6. Не исключены траектории, "похожие" на логарифмическую спираль. При которых точка делает бесконечно число оборотов вокруг центра за конечное время.

-- 27.11.2024, 21:43 --

7. Траектория движения по прямой, проходящей через центр, должна бы быть сепаратрисой.