fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Логарифмическая спираль
Сообщение22.11.2024, 13:23 


21/12/16
960
По горизонтальной плоскости движется частица массой $m$. Со стороны плоскости на частицу действует сила анизотропного сухого трения:
$$
\boldsymbol F=-kmg\frac{(\boldsymbol v,\boldsymbol e_\varphi)}{|\boldsymbol v|}\boldsymbol e_\varphi,\quad |\boldsymbol v|\ne 0,\quad k>0,$$
Здесь $\boldsymbol e_\varphi$ -- единичный орт полярной системы координат; $\boldsymbol v$ -- скорость частицы.

Доказать, что среди траекторий системы имеется логарифмическая спираль, по которой частица накручивается на центр бесконечное число раз.

(Оффтоп)

Задача несложная, но обнаружить эту штуку было весело.

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмическая спираль
Сообщение23.11.2024, 01:54 
Заслуженный участник


20/04/10
1889
drzewo в сообщении #1662352 писал(а):
$$
\boldsymbol F=-kmg\frac{(\boldsymbol v,\boldsymbol e_\varphi)}{|\boldsymbol v|}\boldsymbol e_\varphi,\quad |\boldsymbol v|\ne 0,\quad k>0,$$
В знаменателе модуль скорости точно нужен? При поиске решения в параметрическом виде, из-за этого модуля экспонента в силе бесследно исчезает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмическая спираль
Сообщение23.11.2024, 09:20 


21/12/16
960
lel0lel в сообщении #1662465 писал(а):
В знаменателе модуль скорости точно нужен?

да, нужен

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмическая спираль
Сообщение25.11.2024, 23:38 
Заслуженный участник


20/04/10
1889
Уравнения движения в полярных координатах:
$\ddot{r}-r\dot{\varphi}^2=0, r\ddot{\varphi}+2\dot{r}\dot{\varphi}=-kgv_{\varphi}/v, v_{\varphi}=r\dot\varphi, v=\sqrt{\dot{r}^2+r^2\dot\varphi^2}$
Пусть $r(t)=r_0e^{\sqrt{2}\varphi(t)}$, где $\varphi(t)$ убывающая функция на своей области определения, то есть $\dot{\varphi}(t)<0$ и $\varphi(0)=0$. Уравнения принимают вид: $$\ddot{\varphi}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\dot{\varphi}^2,\,\,\,\,\, 3r_0e^{\sqrt{2}\varphi}\dot\varphi^2=kg.$$Обозначим $|\dot\varphi(0)|=u$. Проверкой можно убедиться, что, при условии $3r_0 u^2=kg$, есть решение
$$\varphi(t)=\sqrt{2}\log\left(1-\frac{ut}{\sqrt{2}}\right),\,\,\, t\leq \frac{\sqrt{2}}{u}$$
В пределе $t\to \frac{\sqrt{2}}{u}$ угол $\varphi$ стремится к минус бесконечности; частица достигает начала координат за конечное время, совершая бесконечное число витков. При этом $r(t)=r_0(1-ut/\sqrt{2})^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмическая спираль
Сообщение26.11.2024, 10:35 


21/12/16
960
уменя, кажется, другое решение: https://dropmefiles.com/kM0lW
было бы неплохо найти все логарифмические спирали

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмическая спираль
Сообщение26.11.2024, 12:01 
Аватара пользователя


11/12/16
14060
уездный город Н
drzewo
Проверил Ваше решение прямой подстановкой.
Далее зададимся вопросом, для каких начальных условий $r_0, \varphi_0, \mathbf{v}_0$ применимы найденные $r(t), \varphi(t)$?

И окажется, что найденные решения
А) покрывают любые $r_0, \varphi_0$
Б) но, с другой стороны, требуют вполне конкретной $\mathbf{v}_0$ при выбранных $r_0, \varphi_0$

Что будет, если $\mathbf{v}_0$ будет другой, так и осталось неизвестным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмическая спираль
Сообщение26.11.2024, 12:53 
Заслуженный участник


20/04/10
1889
drzewoсообщении #1662936 писал(а):
было бы неплохо найти все логарифмические спирали
По-моему, получится одна и та же спираль, с точностью до поворотов и зеркального отражения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмическая спираль
Сообщение26.11.2024, 15:07 


21/12/16
960
lel0lel в сообщении #1662953 писал(а):
По-моему, получится одна и та же спираль, с точностью до поворотов и зеркального отражения.

вероятно так

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмическая спираль
Сообщение26.11.2024, 22:24 


21/12/16
960
EUgeneUS в сообщении #1662942 писал(а):
Что будет, если $\mathbf{v}_0$ будет другой, так и осталось неизвестным.

думаю, что точка остановится за конечное время, если только скорость не направлена в точности радиально. Это надо доказывать, конечно. В задачах с сухим трением, часто представляет интерес динамика при $t\to-\infty$

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмическая спираль
Сообщение27.11.2024, 21:31 
Аватара пользователя


11/12/16
14060
уездный город Н
Некоторые соображения. Какие-то доказаны, а какие-то нет
1. Общее решение должно содержать четыре независимых константы интегрирования.
2. Из них:
А) одна - поворот на угол $\varphi_0$.
Б) сдвиг по времени на $t_0$.
В) еще две определяют форму траектории.
То есть
$r = f((\varphi(t-t_0) - \varphi_0), A, B)$
3. Параметр $\sigma$ - масштабный параметр.
Заменой $\rho = \sigma r$ исключается из уравнений.

-- 27.11.2024, 21:36 --

4. Построение решения в виде логарифмической спирали, как сделал уважаемый lel0lel гарантирует, что никаких других решений в точности совпадающих с логарифмической спиралью - нет.
5. Отсюда следует, что в каждой точке $(r_0, \varphi_0)$, кроме центра, есть ровно один вектор $\mathbf{v_0}$, который приводит к движению по логарифмической спирали.

-- 27.11.2024, 21:40 --

6. Не исключены траектории, "похожие" на логарифмическую спираль. При которых точка делает бесконечно число оборотов вокруг центра за конечное время.

-- 27.11.2024, 21:43 --

7. Траектория движения по прямой, проходящей через центр, должна бы быть сепаратрисой.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group