Проверить решение. Найти максимальное собственное значение

[Daniel_Trumps]

Я пытаюсь найти наибольшее собственное значение оператора вида:

$H = (L_1 - L_2)\otimes(K_2\otimes \mathbb{I} + \mathbb{I} \otimes N_2) + 2(L_1 + L_2)\otimes K_1\otimes N_1 $

$L_j,N_j,K_j (j = 1,2)$ - эрмитовы операторы такие, что $L_j^2 = N_j^2 = K_j^2 = \mathbb{I}$,
$- Произведение Кронекера

Необходимо показать, что максимальное собственное значение оператора $H$ равно $\sqrt{32}$

Попытка:

Из свойств операторов $L_j,K_j,N_j$ следует, что их собственные значения равны $\pm 1$

Я возвожу $H$ в квадрат и получаю:

$H^2 = 4(L_1+L_2)^2 \otimes \mathbb{I}\otimes\mathbb{I} $
$+ 2(L_1L_2 - L_2L_1)\otimes(K_2K_1\otimes N_1 + K_1\otimes N_2N_1) $
$+ 2(L_2L_1 - L_1L_2)\otimes(K_1K_2\otimes N_1 + K_1 \otimes N_1N_2)$
$+(L_1 - L_2)^2\otimes (K_2^2 \otimes \mathbb{I} + \mathbb{I}\otimes N_2^2 + 2K_2\otimes N_2) $

Дальше я не знаю, что делать без дополнительных условий. А имменно, дальше я добавляю условиe(которое не дано в задаче), что операторы коммутативны т.е $L_1L_2 = L_2L_1 , K_1K_2 = K_2K_1, N_1N_2 = N_2N_1$
Это ведет к тому что в уравнении высшее второе и третье слагаемое сокращается:

$H^2 = 4(L_1+L_2)^2 \otimes \mathbb{I}\otimes\mathbb{I} +(L_1 - L_2)^2\otimes (K_2^2 \otimes \mathbb{I} + \mathbb{I}\otimes N_2^2 + 2K_2\otimes N_2) $

Дальше: 1) Т.к $L_1, L_2$ коммутируют, собственныe значения $L_1 + L_2$ это сумма собсввнних значений,и не превосходит 2
2) собст. значения тензорного произведения операторов это всевозможные произведения собственных значений

В итоге выбирая в каждом множителе максимальное собственное значение я вижу что-то похожее на искомый результат:

max_eig$(H^2) = 4\cdot 2^2\cdot 1\cdot 1 + 2^2 \cdot (1 + 1 + 2) = 32$

Следовательно:

max_eig$(H) = \sqrt{32}$


Я не уверен, что это решение правильное.
Вот теперь мне нужно понять это доказуемо без свойств коммутативности или это условие должно быть в задаче и без него никак.

Буду благодарен за любые комментарии и сообщения об ошибках.

[mihaild]

Как-то непохоже на правду. Пуксть $L_i = K_i = N_i = \mathbb I$. Тогда $H = 2\mathbb I$. Хотя даже всё коммутирует.
Или нужно ограничение сверху? Тогда домножьте обе части на $L_1^{-1} \otimes \mathbb I \otimes \mathbb I$.

[dgwuqtj]

Daniel_Trumps в сообщении #1662217 писал(а):

В итоге выбирая в каждом множителе максимальное собственное значение я вижу что-то похожее на искомый результат:

max_eig$(H^2) = 4\cdot 2^2\cdot 1\cdot 1 + 2^2 \cdot (1 + 1 + 2) = 32$

Как-то сомнительно, что он достигается: $H^2 = (12 + 4 L_1 L_2) \otimes \mathbb I \otimes \mathbb I + 2 (L_1 - L_2)^2 \otimes K_2 \otimes N_2$, и простая оценка показывает, что собственные значения $H^2$ не превосходят $24$. Так что некоммутативность существенна.

По идее, надо так. Введём унитарный оператор $X = L_1 L_2$ с обратным $X^{-1} = X^\dagger = L_2 L_1$, тогда
\begin{align*} H^2 &= 2 (6 + X + X^{-1}) \otimes \mathbb I \otimes \mathbb I \\ &+ 2 (X - X^{-1}) \otimes ((K_2 K_1 - K_1 K_2) \otimes N_1 + K_1 \otimes (N_2 N_1 - N_1 N_2)) \\ &+ 2 (2 - X - X^{-1}) \otimes K_2 \otimes N_2. \end{align*}
Если теперь взять вектор $v$, собственный для $X \otimes \mathbb I \otimes \mathbb I$, то окажется, что $\|H^2 v\| \leq 32 \|v\|$, причём для достижения равенства собственное число обязательно равно $\pm i$ (ну и какие-то условия на $K_i$ и $N_i$). Это как раз нельзя получить, если $L_1$ и $L_2$ коммутируют. Ещё нужно построить пример, когда $32$ достигается, разумеется.

[Daniel_Trumps]

dgwuqtj в сообщении #1662349 писал(а):

Daniel_Trumps в сообщении #1662217 писал(а):

В итоге выбирая в каждом множителе максимальное собственное значение я вижу что-то похожее на искомый результат:

max_eig$(H^2) = 4\cdot 2^2\cdot 1\cdot 1 + 2^2 \cdot (1 + 1 + 2) = 32$

Как-то сомнительно, что он достигается: $H^2 = (12 + 4 L_1 L_2) \otimes \mathbb I \otimes \mathbb I + 2 (L_1 - L_2)^2 \otimes K_2 \otimes N_2$, и простая оценка показывает, что собственные значения $H^2$ не превосходят $24$. Так что некоммутативность существенна.

По идее, надо так. Введём унитарный оператор $X = L_1 L_2$ с обратным $X^{-1} = X^\dagger = L_2 L_1$, тогда
\begin{align*} H^2 &= 2 (6 + X + X^{-1}) \otimes \mathbb I \otimes \mathbb I \\ &+ 2 (X - X^{-1}) (x) ((K_2 K_1 - K_1 K_2) \otimes N_1 + K_1 \otimes (N_2 N_1 - N_1 N_2)) \\ &+ 2 (2 - X - X^{-1}) (x) K_2 (x) N_2. \end{align*}
Если теперь взять вектор $v$, собственный для $X \otimes \mathbb I \otimes \mathbb I$, то окажется, что $\|H^2 v\| \leq 32 \|v\|$, причём для достижения равенства собственное число обязательно равно $\pm i$ (ну и какие-то условия на $K_i$ и $N_i$). Это как раз нельзя получить, если $L_1$ и $L_2$ коммутируют. Ещё нужно построить пример, когда $32$ достигается, разумеется.

Это неравенство на верхнюю границу ?
Как здесь получилось 32?

[dgwuqtj]

Daniel_Trumps в сообщении #1662552 писал(а):

Как здесь получилось 32?

Если собственное число $X$ равно $\lambda =\cos t + i \sin t$, то надо оценить сверху $2 (6 + \lambda + \lambda^{-1}) + 2 |\lambda - \lambda^{-1}| \cdot 4 + 2 (2 - \lambda - \lambda^{-1}) = 16 + 16 \sin t $. Это как раз 32. И я в предыдущем сообщении несколько значков $\otimes$ записал как $(x)$, поправил.

[Daniel_Trumps]

dgwuqtj в сообщении #1662557 писал(а):

Daniel_Trumps в сообщении #1662552 писал(а):

Как здесь получилось 32?

Если собственное число $X$ равно $\lambda =\cos t + i \sin t$, то надо оценить сверху $2 (6 + \lambda + \lambda^{-1}) + 2 |\lambda - \lambda^{-1}| \cdot 4 + 2 (2 - \lambda - \lambda^{-1}) = 16 + 16 \sin t $. Это как раз 32. И я в предыдущем сообщении несколько значков $\otimes$ записал как $(x)$, поправил.

Спасибо, многое прояснилось.
Какие свойства должны быть у $K_i, N_i$ чтобы получить оценку max_eig[(K_2K_1 - K_1K_2) + (N_2N_1 - N_1N_2)] = 4? Антикоммутативность?
И как быть с $X$если это перемножение эрмитовых матриц с вещественными собственными значениями, а мы ищем собственное значение вида $\lambda = \cos{t} +i\sin{t} $ в итоге?

[dgwuqtj]

Возьмите обычное двумерное пространство $\mathbb C^2 = \mathbb R^2 \otimes_{\mathbb R} \mathbb C$ и в нём пару операторов $L_1$, $L_2$, являющиеся отражением относительно вещественных прямых $l_1$, $l_2$. Это как раз самосопряжённые операторы с квадратом $\mathbb I$. Пусть угол между прямыми равен $\alpha$, тогда $L_1 L_2$ — это поворот на угол $2 \alpha$, то есть унитарный оператор с собственными значениями $\cos 2 \alpha \pm i \sin 2 \alpha$.

А оценка на собственные значения того выражения никаких дополнительных условий не требует, там каждое слагаемое не увеличивает норму вектора. Вот с примером надо думать, это вы сами попробуйте сначала.