Проверить решение. Найти максимальное собственное значение

[Daniel_Trumps]

Я пытаюсь найти наибольшее собственное значение оператора вида:

$H = (L_1 - L_2)\otimes(K_2\otimes \mathbb{I} + \mathbb{I} \otimes N_2) + 2(L_1 + L_2)\otimes K_1\otimes N_1 $

$L_j,N_j,K_j (j = 1,2)$ - эрмитовы операторы такие, что $L_j^2 = N_j^2 = K_j^2 = \mathbb{I}$,
$- Произведение Кронекера

Необходимо показать, что максимальное собственное значение оператора $H$ равно $\sqrt{32}$

Попытка:

Из свойств операторов $L_j,K_j,N_j$ следует, что их собственные значения равны $\pm 1$

Я возвожу $H$ в квадрат и получаю:

$H^2 = 4(L_1+L_2)^2 \otimes \mathbb{I}\otimes\mathbb{I} $
$+ 2(L_1L_2 - L_2L_1)\otimes(K_2K_1\otimes N_1 + K_1\otimes N_2N_1) $
$+ 2(L_2L_1 - L_1L_2)\otimes(K_1K_2\otimes N_1 + K_1 \otimes N_1N_2)$
$+(L_1 - L_2)^2\otimes (K_2^2 \otimes \mathbb{I} + \mathbb{I}\otimes N_2^2 + 2K_2\otimes N_2) $

Дальше я не знаю, что делать без дополнительных условий. А имменно, дальше я добавляю условиe(которое не дано в задаче), что операторы коммутативны т.е $L_1L_2 = L_2L_1 , K_1K_2 = K_2K_1, N_1N_2 = N_2N_1$
Это ведет к тому что в уравнении высшее второе и третье слагаемое сокращается:

$H^2 = 4(L_1+L_2)^2 \otimes \mathbb{I}\otimes\mathbb{I} +(L_1 - L_2)^2\otimes (K_2^2 \otimes \mathbb{I} + \mathbb{I}\otimes N_2^2 + 2K_2\otimes N_2) $

Дальше: 1) Т.к $L_1, L_2$ коммутируют, собственныe значения $L_1 + L_2$ это сумма собсввнних значений,и не превосходит 2
2) собст. значения тензорного произведения операторов это всевозможные произведения собственных значений

В итоге выбирая в каждом множителе максимальное собственное значение я вижу что-то похожее на искомый результат:

max_eig$(H^2) = 4\cdot 2^2\cdot 1\cdot 1 + 2^2 \cdot (1 + 1 + 2) = 32$

Следовательно:

max_eig$(H) = \sqrt{32}$


Я не уверен, что это решение правильное.
Вот теперь мне нужно понять это доказуемо без свойств коммутативности или это условие должно быть в задаче и без него никак.

Буду благодарен за любые комментарии и сообщения об ошибках.

[mihaild]

Как-то непохоже на правду. Пуксть $L_i = K_i = N_i = \mathbb I$. Тогда $H = 2\mathbb I$. Хотя даже всё коммутирует.
Или нужно ограничение сверху? Тогда домножьте обе части на $L_1^{-1} \otimes \mathbb I \otimes \mathbb I$.