2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Критические точки отображения
Сообщение01.11.2024, 19:36 


18/05/15
733
Есть отображение $y=f(x)$ из $\mathbb{R}^4$ в $\mathbb{R}^4$. Матрицу Якоби отображения $J$ можно представить в виде суммы $J=A+B$, где $A$ - антисимметричная матрица, $B$ - диагональная. Элементы антисимметричной матрицы $A$ над главной диагональю: $$a_{ij} = \frac{1}{x_i-x_j},\quad i=1,2,3; j=2,3,4,$$ элементы диагональной матрицы $B$: $$b_j = \sum_{\substack{1\leqslant i\leqslant 4 \\ i\ne j}} a_{ij} - x_j + \lambda_j,\quad j=1,2,3,4.$$
Константы $\lambda_j>0$ и значения $x_j>0$ - величины порядка $10^{-5}$. Можно считать, что переменные $x_i\ne x_j$, т.е. область их изменения - куб без главной диагонали.

Из условия $d_1c_1+...+d_4c_4\equiv 0$, где $c_1,...,c_4$ - строки матрицы $J$, следует $d_1=...=d_4=0$. Но могут быть отдельные точки $x\in\mathbb{R}^4$, для которых $\det J(x) = 0$. Что о них можно сказать? Может, они не лежат в малой окрестности нуля, или они изолированные или образуют множество лебеговской меры нуль... Не понимаю, как это можно исследовать. Может, посоветуете какую-нибудь литературу. Заранее спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критические точки отображения
Сообщение21.11.2024, 12:30 


18/05/15
733
Разобрался. Но по ходу появились вопросы, на которые любопытно ответить. Сформулирую в виде утверждений без доказательств.
Пусть $J$ - матрица $n\times n$ вида $J=A+B$, где $A$ - антисимметричная матрица, а $B$ - диагональная. Элементы матрицы $B$
$$b_{mm} = \sum_{\substack{1\leqslant j \leqslant n \\ j\ne m}} a_{jm},$$ где $a_{jm}$ - элементы матрицы $A$. Элементы матрицы $A$ удовлетворяют следующим условиям: $a_{ij}=-a_{ji}$ и для любого $k=1,...,n$
$$\sum_{m=1}^k\prod_{\substack{1\leqslant j \leqslant k \\ j\ne m}} a_{jm} = 0.$$
Тогда $$\det J = 0$$ и $$\sum_{k=1}^n \det J_k = 0,$$ где $J_k$ - матрица $(n-1)\times (n-1)$, полученная вычеркиванием $k$-го столбца и $k$-ой строки в матрице $J$.

До $n=4$ это еще можно проверить напрямую, но выше уже не реально. Может, кто-нибудь знает как это можно доказать? Или где посмотреть. Заранее спасибо)

 Профиль  
                  
 
 Re: Критические точки отображения
Сообщение22.11.2024, 04:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Пусть $C=A+B$ (буква $j$ занята).
Из $b_{mm} = \sum\limits_j a_{jm}$ (условие $j\neq m$ тут излишне)
и $a_{mj}=-a_{jm}$ получается, что для любого $m$
$\sum\limits_j c_{mj}=b_{mm}+\sum\limits_j a_{mj}=b_{mm}-\sum\limits_j a_{jm}=0$
Сумма элементов любой строки $C$ равна нулю $\Rightarrow$ сумма всех столбцов $C$ равна нулевому столбцу $\Rightarrow$ столбцы линейно зависимы $\Rightarrow\;\det C=0$.

Обратите внимание, что я не использовал то страшное второе условие на элементы матрицы $A$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критические точки отображения
Сообщение22.11.2024, 09:56 


18/05/15
733
svv, спасибо!
Равенство нулю определителя матрицы $J$ сразу следует из других соображений (в моей задаче) и я не особо вдавался в поиски. Но Ваш способ супер прост!) Подумаю что можно сделать с этим: $\sum \det J_k = 0$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: confabulez


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group