Критические точки отображения

[ihq.pl]

Есть отображение $y=f(x)$ из $\mathbb{R}^4$ в $\mathbb{R}^4$. Матрицу Якоби отображения $J$ можно представить в виде суммы $J=A+B$, где $A$ - антисимметричная матрица, $B$ - диагональная. Элементы антисимметричной матрицы $A$ над главной диагональю:

$$a_{ij} = \frac{1}{x_i-x_j},\quad i=1,2,3; j=2,3,4,$$

элементы диагональной матрицы $B$:

$$b_j = \sum_{\substack{1\leqslant i\leqslant 4 \\ i\ne j}} a_{ij} - x_j + \lambda_j,\quad j=1,2,3,4.$$

Константы $\lambda_j>0$ и значения $x_j>0$ - величины порядка $10^{-5}$. Можно считать, что переменные $x_i\ne x_j$, т.е. область их изменения - куб без главной диагонали.

Из условия $d_1c_1+...+d_4c_4\equiv 0$, где $c_1,...,c_4$ - строки матрицы $J$, следует $d_1=...=d_4=0$. Но могут быть отдельные точки $x\in\mathbb{R}^4$, для которых $\det J(x) = 0$. Что о них можно сказать? Может, они не лежат в малой окрестности нуля, или они изолированные или образуют множество лебеговской меры нуль... Не понимаю, как это можно исследовать. Может, посоветуете какую-нибудь литературу. Заранее спасибо.

[ihq.pl]

Разобрался. Но по ходу появились вопросы, на которые любопытно ответить. Сформулирую в виде утверждений без доказательств.
Пусть $J$ - матрица $n\times n$ вида $J=A+B$, где $A$ - антисимметричная матрица, а $B$ - диагональная. Элементы матрицы $B$

$$b_{mm} = \sum_{\substack{1\leqslant j \leqslant n \\ j\ne m}} a_{jm},$$

где $a_{jm}$ - элементы матрицы $A$. Элементы матрицы $A$ удовлетворяют следующим условиям: $a_{ij}=-a_{ji}$ и для любого $k=1,...,n$

$$\sum_{m=1}^k\prod_{\substack{1\leqslant j \leqslant k \\ j\ne m}} a_{jm} = 0.$$

Тогда

$$\det J = 0$$

и

$$\sum_{k=1}^n \det J_k = 0,$$

где $J_k$ - матрица $(n-1)\times (n-1)$, полученная вычеркиванием $k$-го столбца и $k$-ой строки в матрице $J$.

До $n=4$ это еще можно проверить напрямую, но выше уже не реально. Может, кто-нибудь знает как это можно доказать? Или где посмотреть. Заранее спасибо)

[svv]

Пусть $C=A+B$ (буква $j$ занята).
Из $b_{mm} = \sum\limits_j a_{jm}$ (условие $j\neq m$ тут излишне)
и $a_{mj}=-a_{jm}$ получается, что для любого $m$
$\sum\limits_j c_{mj}=b_{mm}+\sum\limits_j a_{mj}=b_{mm}-\sum\limits_j a_{jm}=0$
Сумма элементов любой строки $C$ равна нулю $\Rightarrow$ сумма всех столбцов $C$ равна нулевому столбцу $\Rightarrow$ столбцы линейно зависимы $\Rightarrow\;\det C=0$.

Обратите внимание, что я не использовал то страшное второе условие на элементы матрицы $A$.

[ihq.pl]

svv, спасибо!
Равенство нулю определителя матрицы $J$ сразу следует из других соображений (в моей задаче) и я не особо вдавался в поиски. Но Ваш способ супер прост!) Подумаю что можно сделать с этим: $\sum \det J_k = 0$.