Как правильно самому составлять дифференц. уравнения с ЧП ?

[Skipper]

Как правильно составлять дифференциальные уравнения?
Обычно нам наоборот, даётся дифференциальное уравнение, и по нему нужно найти функцию.
Но ведь кто-то эти уравнения составлял, писал в решебники, зная изначальный вариант?
(потому что он сам же его определял).
Я хочу аналогично, разобраться как составлять дифф.уравнение,
т.е. не решать его, а наоборот, вот я сам изначально выбрал функцию, её только я знаю,
никто не знает, и $хочу составить дифференциальное уравнение$, так чтобы получилась
задача (можно было кому то предложить её решить). Да и в принципе, такие составления, (а не
только решения тех, кто там составил), дадут мне более глубокое понимания как решать.
Выходит, я в одну сторону составляю- потом в другую решаю, (хоть и зная результат), подмечаю закономерности и т.п.

Как оно всё взаимодействует в процессах интегрированиях дифф.уравнений, и дифференцированиях.
Может даже, такие эксперименты более быстро приведут к пониманию, чем только лишь
чтение учебников. Такой вот метод понимания дифф уравнений хочу попробовать.
Главное - хочу не ошибиться при составлении, т.е. чтобы при правильном решении,
моя функция обратно из дифференциального уравнения, выводилась.

Вот, к примеру, будет искомая функция 2-х переменных, к которой будет приходить решение.

$F(x,y) = $\dfrac{1}{x^y}$$

Правильно ли я понимаю, такие нижеописанные правила верны и возможности их создания?

1) Полные дифференциалы, (1-го, 2-го порядка и т.д.) выписывать необязательно,
можно включить любые частные и не все, главное, чтобы они соответствовали искомой функции $F(x,y)$ .

2) Мы можем определить некое дифф. нелинейное уравнение, в общем виде, как

$G(x, y, F, \dfrac{\partial F}{\partial x} , \dfrac{\partial F}{\partial y}, \dfrac{\partial ^ {2} F}{\partial x^{2} } ... ) = 0$ ,

с любыми сочетаниями (арифметическими операциями между ними) -
того что внутри этой $G$ находится.

Например, включили только $G( y, F, \dfrac{\partial F}{\partial x} )$ -
получили более простое дифференциальное уравнение в данном случае 1-й степени,
можно и вовсе явно только
$G(x, y, F)$ включить , и указать, явно функцию, и ничего тогда решать не надо будет, вот пример,
$F(x,y) - $\dfrac{1}{x^y} $ = 0$ , т.е.
$F - $\dfrac{1}{x^y} $ = 0$ ,

Включили любые частные производные больших порядков - получили, более сложное ДУсЧП,
искомая функция остаётся прежней.

3) Вот например, хотим создать ДУсЧП 2 переменные, и порядок 2-й, и нелинейное.
Значит определяем функцию $G$, где хотя бы "один" $\partial ^{2}$ будет определён, т.е. например, достаточно
$\dfrac{\partial ^ {2} F}{\partial x^{2} }$ ,

то есть, из,
$G(x, y, F, \dfrac{\partial F}{\partial x} , \dfrac{\partial F}{\partial y}, \dfrac{\partial ^ {2} F}{\partial x^{2} } ... ) = 0$ ,
выбрали например,
$G( x, F, \dfrac{\partial F}{\partial y}, \dfrac{\partial ^ {2} F}{\partial x^{2} } ... ) = 0$ ,

Как правильно составить уравнение?

Ну вот, например, из выбранных, я написал так-

$x + \dfrac{\partial F}{\partial y} + F \cdot \dfrac{\partial ^ {2} F}{\partial x^{2} } = Z(x,y) $ ,

в левой части, эти частные производные, так и останутся,
а в правой части, будет определена функция $Z(x,y)$ , которая и нужна, чтобы ДУсЧП наше сошлось,
и было внутренне непротиворечивым, решаемым.
Правильно?

Тогда, раскроем наши частные производные,

$\dfrac{\partial F}{\partial y} = -x ^ {-y} \cdot \ln x $ ,

$\dfrac{\partial ^ {2} F}{\partial x^{2} } = x ^ {-y} \cdot (\dfrac{y^2 + y}{x^ 2}) $ ,

$ F \cdot \dfrac{\partial ^ {2} F}{\partial x^{2} } = x ^ {-2y} \cdot (\dfrac{y^2 + y}{x^ 2}) $ ,

$Z(x,y) = -x ^ {-y} \cdot \ln x + x ^ {-2y} \cdot (\dfrac{y^2 + y}{x^ 2}) $ ,

а $x$ из левой части уберём, потому что в правой ничего нет, в чём мог бы сократиться,
т.е. смысла в правую часть добавлять, нету, они сократятся,

$ \dfrac{\partial F}{\partial y} + F \cdot \dfrac{\partial ^ {2} F}{\partial x^{2} } = -x ^ {-y} \cdot \ln x + x ^ {-2y} \cdot (\dfrac{y^2 + y}{x^ 2}) $ ,

теперь перенесём из правой части в левую, чтобы после было стандартное сравнение с нулём,
как по общей записи, и мы

-------------------------------------------------------------------------
получили итоговое ДУсЧП для функции с 2 переменным, и 2-й порядок, и нелинейное -

$ \dfrac{\partial F}{\partial y} + F \cdot \dfrac{\partial ^ {2} F}{\partial x^{2} } + x ^ {-y} \cdot \ln x - x ^ {-2y} \cdot (\dfrac{y^2 + y}{x^ 2}) = 0 $ ,

Если не знать решение, то кому-то было бы возможно, трудно решить найти искомую функцию,
(а можно наворотить и намного больше взяв побольше членов из функции $G$ выше),
но уже знаем, что решение простое -

$F(x,y) = $\dfrac{1}{x^y}$$ ,

-------------------------------------------------------------------------
Совсем для полноты, нужно ещё граничные условия давать. Иначе, у ДУсЧП не только
константы в решениях появляются, а и неизвестные функции (как часть от общей).
Какие критерии для этих граничных условий? Т.е. что обязательно должно
быть, чтобы находилась искомая функция и достаточно ли 2-х граничных условия?

Зададим например, такие:

$F(x, 0) = 1 $ ,

$\dfrac{\partial F }{\partial y} (x, 0) = - \ln x$ ,

Подскажите , правильно ли я тут в этой своей теории понял, или ошибки есть?
Спасибо.

[Утундрий]

Как же это умильно смотрится сразу после попытки "порешать за чёрные дыры"