Несобственный интеграл от произведения функций

[Gspace]

Здравствуйте, уважаемое научное сообщество!
Пытаюсь разобраться со сложным интегралом произведения двух функций - экспоненты и синуса со сложным аргументом.
$\int\limits_{0}^{\infty}$ $\exp$$\left\lbrace -pt \right\rbrace$$\sin$ $\left\lbrace Xy-H\cdot\exp $\left\lbrace -a t \right\rbrace$ \cdot\cos\left\lbrace bt-\varphi \right\rbrace $\right\rbrace$ $dt$
Все буквы здесь, кроме t, - произвольные действительные значения.

Пробовал разными способами упростить данное выражение: по формуле Эйлера, раскладывал в ряды. Пробовал интегрировать по частям. Ни один из способов не дал положительных результатов. При интегрировании по частям, из-за сложной функции синуса, интеграл будет увеличиваться в размере, что в итоге дает бесконечно растущий ряд.
Есть ли у вас идеи, как можно попробовать решить такой интеграл? И вообще, возможно ли это сделать?
Заранее благодарю за ответы.

[Gspace]

Здравствуйте, уважаемое научное сообщество!
Пытаюсь разобраться со сложным интегралом произведения двух функций - экспоненты и синуса со сложным аргументом.
$\int\limits_{0}^{\infty}$ $\exp$$\left\lbrace -pt \right\rbrace$$\sin$ $\left\lbrace Xy-H\cdot\exp $\left\lbrace -a t \right\rbrace$ \cdot\cos\left\lbrace bt-\varphi \right\rbrace $\right\rbrace$ $dt$
Все буквы здесь, кроме t, - произвольные действительные значения.

Пробовал разными способами упростить данное выражение: по формуле Эйлера, раскладывал в ряды. Пробовал интегрировать по частям. Ни один из способов не дал положительных результатов. При интегрировании по частям, из-за сложной функции синуса, интеграл будет увеличиваться в размере, что в итоге дает бесконечно растущий ряд.
Есть ли у вас идеи, как можно попробовать решить такой интеграл? И вообще, возможно ли это сделать?
Заранее благодарю за ответы.

[Combat Zone]

Наберите интеграл нормально. Формула набирается так: доллар, текст формулы, доллар в самом конце. В середине знаков доллара быть не должно. Сейчас непонятно, какая у вас функция под интегралом, потому что количество открывающих скобок не совпадает с количеством закрывающих.

[iifat]

Как понимаю, мажорируется $\int\limits_0^\infty e^{-pt}dt$ же.
$\int\limits_a^\infty e^{-pt}dt=\left.-\frac1pe^{-pt}\right|_a^\infty=\frac1pe^{-pa}$, то бишь, разбив на некий конечный отрезок и хвост, получаем достаточно быстро убывающий хвост, так что можно выбрать отрезок с достаточно малым хвостом, и посчитать на нём по формулам численного интегрирования. Более того, если я правильно понял, что там под синусом, аргумент его достаточно быстро сходится к некой константе. Или вам нужна именно формула?

-- 19.11.2024, 11:11 --

Gspace в сообщении #1661959 писал(а):

При интегрировании по частям, из-за сложной функции синуса, интеграл будет увеличиваться в размере, что в итоге дает бесконечно растущий ряд

А вот тут не понял. Как точное преобразование конечного интеграла может превратить его в бесконечно растущий ряд?

[Red_Herring]

1. Одна из скобок не закрыта, т.ч. что там вы интегрируете--неясно.
2. Кто вас учил набирать формулу кусками? Подойдите к нему и плюньте... Или сами додумались? А , ясно , вам хочется чтобы синус и экспонента были набраны прямым шрифтом, а получается косой... Так это просто:

Используется синтаксис LaTeX

\exp , \sin, \cos 

и далее везде (почти, ... )

[svv]

3. Фигурные скобки тут неуместны, используйте круглые.

[iifat]

Кстати, наткнулся на, возможно, похожее.

[Combat Zone]

Red_Herring в сообщении #1661967 писал(а):

2. Кто вас учил набирать формулу кусками? Подойдите к нему и плюньте... Или сами додумались? А , ясно , вам хочется чтобы синус и экспонента были набраны прямым шрифтом, а получается косой... Так это просто:

ТС не слишком виноват. Так работает LaTeX Помощник для тех, кто не умеет им пользоваться.
Gspace, набирайте сами, вам же проще будет. На всю формулу должно быть два доллара - один в начале, другой в конце. У вас их очень много.

[Gspace]

Combat Zone в сообщении #1661971 писал(а):

Red_Herring в сообщении #1661967 писал(а):

2. Кто вас учил набирать формулу кусками? Подойдите к нему и плюньте... Или сами додумались? А , ясно , вам хочется чтобы синус и экспонента были набраны прямым шрифтом, а получается косой... Так это просто:

ТС не слишком виноват. Так работает LaTeX Помощник для тех, кто не умеет им пользоваться.
Gspace, набирайте сами, вам же проще будет. На всю формулу должно быть два доллара - один в начале, другой в конце. У вас их очень много.

Большое спасибо, всё получилось)
$\int\limits_{0}^{\infty} \exp (-p \cdot t) \cdot \sin ( Xy - H\cdot \exp (-\alpha \cdot t)\cdot \cos (\beta \cdot t - \varphi)) dt $

svv в сообщении #1661968 писал(а):

3. Фигурные скобки тут неуместны, используйте круглые.

Исправил)

Red_Herring в сообщении #1661967 писал(а):

1. Одна из скобок не закрыта, т.ч. что там вы интегрируете--неясно.
2. Кто вас учил набирать формулу кусками? Подойдите к нему и плюньте... Или сами додумались? А , ясно , вам хочется чтобы синус и экспонента были набраны прямым шрифтом, а получается косой... Так это просто:

Используется синтаксис LaTeX

\exp , \sin, \cos 

и далее везде (почти, ... )

Исправил)

-- 19.11.2024, 12:06 --

iifat в сообщении #1661970 писал(а):

Кстати, наткнулся на, возможно, похожее.

Спасибо! Это может помочь

-- 19.11.2024, 12:18 --

iifat в сообщении #1661963 писал(а):

Как понимаю, мажорируется $\int\limits_0^\infty e^{-pt}dt$ же.
$\int\limits_a^\infty e^{-pt}dt=\left.-\frac1pe^{-pt}\right|_a^\infty=\frac1pe^{-pa}$, то бишь, разбив на некий конечный отрезок и хвост, получаем достаточно быстро убывающий хвост, так что можно выбрать отрезок с достаточно малым хвостом, и посчитать на нём по формулам численного интегрирования. Более того, если я правильно понял, что там под синусом, аргумент его достаточно быстро сходится к некой константе. Или вам нужна именно формула?

-- 19.11.2024, 11:11 --

Gspace в сообщении #1661959 писал(а):

При интегрировании по частям, из-за сложной функции синуса, интеграл будет увеличиваться в размере, что в итоге дает бесконечно растущий ряд

А вот тут не понял. Как точное преобразование конечного интеграла может превратить его в бесконечно растущий ряд?

Да, мне нужна именно формула.
Бесконечно растущий ряд получается по причине того, что, используя формулу интегрирования по частям, за $U$ я принимаю сложную функцию синуса, а за $V$ - функцию экспоненты. И тогда получается, что $U\cdot V $ я нахожу, а новая подынтегральная функция будет равна $V\cdot dU$. Так как мой синус имеет в аргументе другую функцию, получается, что $dU=\dot{\sin (x)}\cdot \dot{x}$. И так с каждой итерацией я нахожу какое-то слагаемое плюс новый интеграл, который длиннее предыдущего. По этой причине я называл эти слагаемые рядом.

[Gspace]

Combat Zone в сообщении #1661962 писал(а):

Наберите интеграл нормально. Формула набирается так: доллар, текст формулы, доллар в самом конце. В середине знаков доллара быть не должно. Сейчас непонятно, какая у вас функция под интегралом, потому что количество открывающих скобок не совпадает с количеством закрывающих.

$\int\limits_{0}^{\infty} \exp (-p \cdot t) \cdot \sin ( Xy - H\cdot \exp (-\alpha \cdot t)\cdot \cos (\beta \cdot t - \varphi)) dt $
Исправил

[mihaild]

А $Xy$ под синусом - просто такой хитрый способ записать константу, или опечатка?

Я бы предложил попробовать расписать синусы и косинусы через экспоненту, и может быть свести к интегральной показательной функции. Но шансов мало.

[svv]

Gspace в сообщении #1661995 писал(а):

$\int\limits_{0}^{\infty} \exp (-p \cdot t) \cdot \sin ( Xy - H\cdot \exp (-\alpha \cdot t)\cdot \cos (\beta \cdot t - \varphi)) dt $

Вы быстро учитесь. Вот следующий шаг в оформлении. В записи $7\cdot 7=47$ точка требуется. Но в произведении перед буквенным сомножителем (или скобкой) точка ставится редко, см. любую взрослую книгу по математике или физике. Например, уравнение состояния идеального газа просто $pV=\nu R T$. Исключения:
1) Для обозначения скалярного произведения векторов и прочего подобного.
2) Когда нужно сделать акцент, разбив произведение нескольких множителей на смысловые части.

Ну, и экспонента обычно $e^{-pt}$. Получается
$\int\limits_{0}^{\infty} e^{-pt} \sin (Xy - H e^{-\alpha t}\cos (\beta t - \varphi))\,dt$
Но если есть опасение, что читатель не разглядит показатель степени, пишите $\exp$.

[Ende]

Темы объединены. Gspace, не надо создавать две темы с одним и тем же вопросом.