Задача с ядерным топливом

[Skipper]

Такая задача. (реально цифры не такие, но принцип ЗЯТЦ - реакторов с замкнутым топливным циклом, будет такой. Пример реакторов-размножителей, которые могут задействовать в распаде весь уран-238, не участвующий изначально в распаде, но превращая его в плутоний).
Интересно понять, как подобное решать? Забыл совсем, раньше в универе, подобную задачу наверно, решил бы.
Задача ----------

В момент времени $0$ (в годах, т.е. $0$ лет), в быстром БН атомном реакторе, содержится
$100$ тонн ядерного топлива, из которых:

$20$ тонн - плутоний-239-й,
$80$ тонн - уран-238-й.

В процессе распада, происходят 2 процесса:
1) плутоний-239-й, распадается со скоростью, прямо пропорционально своей оставшейся массы во всём топливе, и превращаясь в отработавший и не участвующий в превращениях, материал.
2) уран-238, сам не участвует в распаде с получением энергии, и отходов не даёт, но попутно превращается в плутоний-239-й, (который в процессе работы реактора тут же участвует в распаде). Скорость этого превращения тоже прямо пропорциональна оставшейся массы урана-238.

Масса плутония-239, сначала даже увеличивается, т.е. хотя он и распадается, но изначально прирост его за счет превращения из урана-238, бОльший чем убыль из-за собственного распада.

Через $5$ лет работы реактора, состав топлива становится таким (три компонента)-

$25$ тонн - плутоний-239-й, ($5$ тонн приросло, хотя он распадался попутно, распад $5$ тонн),
$70$ тонн - уран-238-й. (дал выход : $10$ тонн плутония),
(
$5$ тонн- отходы от плутоний-239,
)

Реактор нужно остановить и извлечь всё топливо для переработки и удаления
отходов, в самый оптимальный момент, когда будет масса участвующего в распаде материала,
плутония-239, максимальна.

Вопрос- через какое время нужно (в единицах годах- $N$ лет, с точностью до 0,01 год, в месяцы и прочее переводить не надо), останавливать реактор, в этот оптимальный момент,
и какой в этот момент будет его состав (по всем трём компонентам) ?
Спасибо.

[Skipper]

Самый простой процесс, это превращение урана-238. (у плутония он сложнее, как и у накопленных отходов).
Пусть $U(t)$ - скорость увеличения/уменьшения массы урана в момент времени $t$.
Пусть $M(t)$ - накопленная масса с учётом прироста/уменьшения урана в момент времени $t$.

Скорость увеличения/уменьшения массы урана прямо пропорциональна самой массе в текущий момент,
значит $ U(t) = a \cdot M(t)$, где $a$ - некоторая константа.
Скорость - это производная от накопленной массы, потому,
$ M'(t) = a \cdot M(t)$,
$\dfrac{dM}{dt} = a \cdot M$,
решим уравнение, получим
$t + C = \dfrac{1}{a} \cdot \ln(M)$, где $C$ - константа полученная интегрированием дифф. уравнения.
Значит,
$a \cdot ( t + C ) = \ln M$ ,
$M(t) = e ^ {a \cdot (t + C) } $ ,
в момент времени $0$, масса урана $80$, значит,
$M(0) = 80 = e ^ {a \cdot (0 + C) } $ ,
$ e ^ {a \cdot C } = 80 $ ,
$a \cdot C = \ln 80$ ,

в момент времени $5$, масса урана $70$, значит,
$M(5) = 70 = e ^ {a \cdot (5 + C) } $ ,
$ e ^ {a \cdot (5 + C) } = 70 $ ,
$a \cdot (5+C) = \ln 70$ ,

Значит нужно решить систему уравнений,
$a \cdot (5+C) = \ln 70$ ,
$a \cdot C = \ln 80$ ,

разделим первое на второе, получим примерно,
$\dfrac{(5+C)}{C} = \dfrac{\ln 70}{\ln 80} = 4,248495 / 4,382026 = 0,969527... $
$ 5+C = 0,969527 \cdot C $ ,
$0,030473 \cdot C = -5$ ,
$C = -164,079677$ ,

подставим теперь сюда, чтобы найти $a$ :
$a \cdot C = \ln 80 = 4,3820266 $ ,
$-164,079677 \cdot a = 4,3820266$ ,
$a = -0,0267066$ ,

вернёмся к исходной функции, и подставим $a$ и $C$ :
$M(t) = e ^ {a \cdot (t + C) } $ ,
$M(t) = e ^ {-0,0267066 \cdot (t - 164,079677) } $ ,

Это окончательная функция зависящая от времени, по которой можно узнать в любой момент времени
массу урана?

Проверим, подставим $0, 2, 5, 10, 20$ лет к примеру:

$M(0) = e ^ {-0,0267066 \cdot ( -164,079677) } = e ^ {4,382010} = 80 $ ,

$M(2) = e ^ {-0,0267066 \cdot (2 - 164,079677) } = e ^ {-0,0267066 \cdot (-162,079677) } = e ^ {4,3285971} = 75,178028 $ ,
$M(5) = e ^ {-0,0267066 \cdot (5 - 164,079677) } = e ^ {-0,0267066 \cdot (-159,079677) } = e ^ {4,2484773} = 69,96.. $ ,
$M(10) = e ^ {-0,0267066 \cdot (10 - 164,079677)}= e ^ {-0,0267066 \cdot (-154,079677) } = e ^ {4,114944} = 61,22265 $ ,
$M(20) = e ^ {-0,0267066 \cdot (20 - 164,079677)}= e ^ {-0,0267066 \cdot (-144,079677) } = e ^ {3,847878} = 46,5306080 $ ,

Что же, похоже, на правду, в момент времени $0$, как и по условию задачи, получилось
примерно $80$ тонн урана, через $2$ года $75,178028$ тонн, через $5$ лет как по условию
задачи примерно $70$ тонн, из-за того что слишком длинные дроби не добавлял, с погрешностью,
точнее $69,96$.. тонн, через $10$ лет, урана в реакторе уже $61,22265$ тонна,
а через $20$ лет, урана $46,5306080$ тонн.

То есть,
$M(0) = 80 $ ,
$M(2) = 75,178028 $ ,
$M(5) = 69,96.. $ ,
$M(10) = 61,22265 $ ,
$M(20) = 46,5306080 $ ,

и средствами мат.анализа, мы получили точную функцию, зависимости
массы урана в реакторе $M$,
(в единицах тонн), от времени $t$ в годах ,
по времени от $0$, и до плюс бесконечного времени,

точно вот такую функцию - :

$M(t) = e ^ {-0,0267066 \cdot (t - 164,079677) } $ .

Далее, всё сложнее. Искать, по какой функции изменяется масса плутония,
или что эквивалентно, масса отходов, (зная две функции, третья будет вычислена
просто как разность от $100$ первых двух).

Почему сложнее? Там два процесса происходят (плутоний одновременно и распадается,
и добавляется путём преобразования от урана, путём захвата нейтронов)
в отличие от одного процесса, от которого зависела
функция массы урана от времени $M(t)$,

[dgwuqtj]

Ну так для массы плутония $P(t)$ тоже можно написать уравнение, $P'(t) = -a M(t) + b P(t)$. Константу $a$ (и функцию $M$) вы уже нашли.

[Skipper]

Так, с полной строгостью, (для полного понимания), мы выше нашли,

$M(t)$ - накопленная масса уменьшения урана в момент времени $t$.
Скорость уменьшения массы урана в любой момент, значит,
$M'(t) = a \cdot M(t)$, где $a$ - найденная константа.

Взяв с отрицательным знаком последнюю фунцию, получим,
$- a \cdot M(t)$, это скорость наоборот, увеличения массы плутония в каждый момент времени,
за счёт превращения урана,

теперь, аналогично, рассуждениям выше, введём функции,

Пусть $P(t)$ - ОБЩАЯ накопленная масса с учётом прироста/уменьшения плутония в момент времени $t$.
То есть сколько его вообще есть во всём ядерном топливе в любой момент времени.

Но,
$V(t)$ - общая скорость увеличения/уменьшения массы плутония в момент времени $t$, теперь складывается из двух слагаемых,

1) скоростью из-за уменьшения массы плутония путём его распада всего полностью, который содержится
в топливе, а это прямо пропорционально полной массе в любой момент,
значит $ b \cdot P(t)$, где $b$ - некоторая неизвестная константа.
2) из-за параллельного прироста массы плутоний путём преобразования из урана, мы должны добавить
выше рассчитанное слагаемое,

$- a \cdot M(t)$, это скорость наоборот, увеличения массы плутония в каждый момент времени,
за счёт превращения урана,

В итоге, полная формула , верно,
$V(t) = P'(t) = -a \cdot M(t) + b \cdot P(t) $ ,

Было,
$M(t) = e ^ {a \cdot (t + C) } $ ,
$M(t) = e ^ {-0,0267066 \cdot (t - 164,079677) } $ ,

Значит,
$V(t) = P'(t) = -a \cdot M(t) + b \cdot P(t) $ ,
$V(t) = P'(t) = 0,0267066 \cdot e ^ {-0,0267066 \cdot (t - 164,079677) } + b \cdot P(t) $ ,
$V(t) = P'(t) = 0,0267066 \cdot e ^ { 4,38201 - 0,0267066 \cdot t } + b \cdot P(t) $ ,
$V(t) = P'(t) = 0,0267066 \cdot 79,988117 \cdot e ^ {- 0,0267066 \cdot t } + b \cdot P(t) $ ,
$V(t) = P'(t) = 2,1364 \cdot e ^ {- 0,0267066 \cdot t } + b \cdot P(t) $ ,

Итак, решить нужно, вот это главное дифференциальное уравнение,

$V(t) = P'(t) = 2,1364 \cdot e ^ {- 0,0267066 \cdot t } + b \cdot P(t) $ ,

Найти сначала получится $P(t)$ - сколько плутония в любой момент времени,
после нулевого. Только потом, найдя производную,
$V(t) = P'(t) $ ,
найдём общую функцию скорости плутония в топливе,

Затем, приравняв эту функцию к $0$, найдём экстремум функции,
при каком $ t$ , плутония становится максимальное количество.

Ну а дальше, применив это $t$ , и функцию $P(t)$ - найдём сколько плутония,
$M(t)$ - урана, $(100 - P(t) - M(t) )$ - отходов,
чтобы ответить на вопрос задачи,

-- Вт ноя 19, 2024 12:48:55 --

Задачу, всё таки, надо переформулировать. Содержание по сути будет то же, только числа
немного другие. Чтобы было ближе к истине.
Потому что реально заинтересовало, сколько тонн можно за один топливный цикл, дополнительных
тонн заполучить дополнительного ядерного топлива плутония-239, в подобных
реакторах-размножителях на БН- быстрых нейтронах.
И сколько нужно будет человечеству настроить подобных реакторов-размножителей,
чтобы например, за столетие набрать дополнительно какое то большое число N тонн плутония.
ИТАК, далее задачу рассматриваем с такими входными данными (что ближе к истине) -

(Пример реакторов-размножителей, которые могут задействовать в распаде весь уран-238, не участвующий изначально в распаде, но превращая его в плутоний).

Задача -------------------------------------------------------------------------------------------

В момент времени $0$ (в годах, т.е. $0$ лет), в быстром БН атомном реакторе, содержится
$100$ тонн ядерного топлива, из которых:

$20$ тонн - плутоний-239-й,
$80$ тонн - уран-238-й.

В процессе распада, происходят 2 процесса:
1) плутоний-239-й, распадается со скоростью, прямо пропорционально своей оставшейся массы во всём топливе, и превращаясь в отработавший и не участвующий в превращениях, материал.
2) уран-238, сам не участвует в распаде с получением энергии, и отходов не даёт, но попутно превращается в плутоний-239-й, (который в процессе работы реактора тут же участвует в распаде). Скорость этого превращения тоже прямо пропорциональна оставшейся массы урана-238.

Масса плутония-239, сначала даже увеличивается, т.е. хотя он и распадается, но изначально прирост его за счет превращения из урана-238, бОльший чем убыль из-за собственного распада.

Через $3$ года работы реактора, состав топлива становится таким (три компонента)-

$22$ тонны - плутоний-239-й, ($2$ тонны приросло, хотя он распадался попутно, распад $5$ тонн),
$73$ тонны - уран-238-й. (дал выход : $7$ тонн плутония. Коэфф. размножения нейтронов 2,8 с 2 захваченных, т.е. 1,4),
(
$5$ тонн- отходы от плутоний-239,
)

Реактор нужно остановить и извлечь всё топливо для переработки и удаления
отходов, в самый оптимальный момент, когда будет масса участвующего в распаде материала,
плутония-239, максимальна.

Вопрос- через какое время нужно (в единицах годах- $N$ лет, с точностью до 0,01 год, в месяцы и прочее переводить не надо), останавливать реактор, в этот оптимальный момент,
и какой в этот момент будет его состав (по всем трём компонентам) ?

Конец условия задачи------------------------------------------------------------------------

[Skipper]

Аналогично вычислениям выше, находим сначала, функции для урана-238.
Самый простой процесс, это превращение урана-238. (у плутония он сложнее, как и у накопленных отходов).
Пусть $U(t)$ - скорость увеличения/уменьшения массы урана в момент времени $t$.
Пусть $M(t)$ - накопленная масса с учётом прироста/уменьшения урана в момент времени $t$.

Скорость увеличения/уменьшения массы урана прямо пропорциональна самой массе в текущий момент,
значит $ U(t) = a \cdot M(t)$, где $a$ - некоторая константа.
Скорость - это производная от накопленной массы, потому,
$ M'(t) = a \cdot M(t)$,
$\dfrac{dM}{dt} = a \cdot M$,
решим уравнение, получим
$t + C = \dfrac{1}{a} \cdot \ln(M)$, где $C$ - константа полученная интегрированием дифф. уравнения.
Значит,
$a \cdot ( t + C ) = \ln M$ ,
$M(t) = e ^ {a \cdot (t + C) } $ ,

в момент времени $0$, масса урана $80$, значит,
$M(0) = 80 = e ^ {a \cdot (0 + C) } $ ,
$ e ^ {a \cdot C } = 80 $ ,
$a \cdot C = \ln 80$ ,

в момент времени $3$, масса урана $73$, значит,
$M(3) = 73 = e ^ {a \cdot (3 + C) } $ ,
$ e ^ {a \cdot (3 + C) } = 73 $ ,
$a \cdot (3+C) = \ln 73$ ,

Значит нужно решить систему уравнений,
$a \cdot (3+C) = \ln 73$ ,
$a \cdot C = \ln 80$ ,

разделим первое на второе, получим примерно,
$\dfrac{(3+C)}{C} = \dfrac{\ln 73}{\ln 80} = 4,2904594 / 4,382026 = 0,97910404... $
$ 3+C = 0,97910404 \cdot C $ ,
$0,02089596 \cdot C = -3$ ,
$C = -143,5684218$ ,

подставим теперь сюда, чтобы найти $a$ :
$a \cdot C = \ln 80 = 4,382026 $ ,
$-143,5684218 \cdot a = 4,382026$ ,
$a = -0,03052221$ ,

вернёмся к исходной функции, и подставим $a$ и $C$ :
$M(t) = e ^ {a \cdot (t + C) } $ ,
$M(t) = e ^ {-0,03052221 \cdot (t - 143,5684218) } $ ,

Это окончательная функция зависящая от времени, по которой можно узнать в любой момент времени
массу урана?

Проверим, подставим $0, 3, 10, 20$ лет к примеру:

$M(0) = e ^ {-0,03052221 \cdot ( -143,5684218) } = e ^ {4,3820255} = 79,99 $ ,

$M(3) = e ^ {-0,03052221 \cdot (3 - 143,5684218) } = e ^ {-0,03052221 \cdot (-140,5684218) } = e ^ {4,290458} = 73,001 $ ,
$M(10) = e ^ {-0,03052221 \cdot (10 - 143,5684218)}= e ^ {-0,03052221 \cdot (-133,5684218) } = e ^ {4,076803} = 58,95829 $ ,
$M(20) = e ^ {-0,03052221 \cdot (20 - 143,5684218)}= e ^ {-0,03052221 \cdot (-123,5684218) } = e ^ {3,771581} = 43,449798 $ ,

Что же, похоже, на правду, в момент времени $0$, как и по условию задачи, получилось
примерно $80$ тонн урана, через $3$ года $73,001$ тонн,
через $10$ лет, урана в реакторе уже $58,95829$ тонна,
а через $20$ лет, урана $43,449798$ тонн.

То есть,
$M(0) = 80 $ ,
$M(3) = 73,001 $ ,
$M(10) = 58,95829 $ ,
$M(20) = 43,449798 $ ,

и средствами мат.анализа, мы получили точную функцию, зависимости
массы урана в реакторе $M$,
(в единицах тонн), от времени $t$ в годах ,
по времени от $0$, и до плюс бесконечного времени,

точно вот такую функцию - :

$M(t) = e ^ {-0,03052221 \cdot (t - 143,5684218) } $ ,

Далее, всё сложнее. Искать, по какой функции изменяется масса плутония,
или что эквивалентно, масса отходов, (зная две функции, третья будет вычислена
просто как разность от $100$ первых двух).

Почему сложнее? Там два процесса происходят (плутоний одновременно и распадается,
и добавляется путём преобразования от урана, путём захвата нейтронов)
в отличие от одного процесса, от которого зависела
функция массы урана от времени $M(t)$,

но выше выкладки, уже есть, проведём с другими входными числовыми данными,

-- Вт ноя 19, 2024 13:45:49 --

-------------------------------------------------------------------------------------------
с полной строгостью, (для полного понимания), мы выше нашли,

$M(t)$ - накопленная масса уменьшения урана в момент времени $t$.
Скорость уменьшения массы урана в любой момент, значит,
$M'(t) = a \cdot M(t)$, где $a$ - найденная константа.

Взяв с отрицательным знаком последнюю фунцию, получим,
$- a \cdot M(t)$, это скорость наоборот, увеличения массы плутония в каждый момент времени,
за счёт превращения урана,

теперь, аналогично, рассуждениям выше, введём функции,

Пусть $P(t)$ - ОБЩАЯ накопленная масса с учётом прироста/уменьшения плутония в момент времени $t$.
То есть сколько его вообще есть во всём ядерном топливе в любой момент времени.

Но,
$V(t)$ - общая скорость увеличения/уменьшения массы плутония в момент времени $t$, теперь складывается из двух слагаемых,

1) скоростью из-за уменьшения массы плутония путём его распада всего полностью, который содержится
в топливе, а это прямо пропорционально полной массе в любой момент,
значит $ b \cdot P(t)$, где $b$ - некоторая неизвестная константа.
2) из-за параллельного прироста массы плутония путём преобразования из урана, мы должны добавить
выше рассчитанное слагаемое,

$- a \cdot M(t)$, это скорость наоборот, увеличения массы плутония в каждый момент времени,
за счёт превращения урана,

В итоге, полная формула , верно,
$V(t) = P'(t) = -a \cdot M(t) + b \cdot P(t) $ ,

Было,
$M(t) = e ^ {a \cdot (t + C) } $ ,
$M(t) = e ^ {-0,03052221 \cdot (t - 143,5684218) } $ ,

Значит,
$V(t) = P'(t) = -a \cdot M(t) + b \cdot P(t) $ ,
$V(t) = P'(t) = 0,03052221 \cdot e ^ {-0,03052221 \cdot (t - 143,5684218) } + b \cdot P(t) $ ,
$V(t) = P'(t) = 0,03052221 \cdot e ^ { 4,38202 - 0,03052221 \cdot t } + b \cdot P(t) $ ,
$V(t) = P'(t) = 0,03052221 \cdot 80,001 \cdot e ^ {- 0,03052221 \cdot t } + b \cdot P(t) $ ,
$V(t) = P'(t) = 2,441807 \cdot e ^ {- 0,03052221 \cdot t } + b \cdot P(t) $ ,

Итак, решить нужно, вот это главное дифференциальное уравнение,

$V(t) = P'(t) = 2,441807 \cdot e ^ {- 0,03052221 \cdot t } + b \cdot P(t) $ ,

Найти сначала получится $P(t)$ - сколько плутония в любой момент времени,
после нулевого. Только потом, найдя производную,
$V(t) = P'(t) $ ,
найдём общую функцию скорости плутония в топливе,

Затем, приравняв эту функцию к $0$, найдём экстремум функции,
при каком $ t$ , плутония становится максимальное количество.

Ну а дальше, применив это $t$ , и функцию $P(t)$ - найдём сколько плутония,
$M(t)$ - урана, $(100 - P(t) - M(t) )$ - отходов,
чтобы ответить на вопрос задачи,

[Skipper]

------------------------------------------------------------------------------
далее, решаем главное дифференциальное уравнение,

$V(t) = P'(t) = 2,441807 \cdot e ^ {- 0,03052221 \cdot t } + b \cdot P(t) $ ,

Для удобства восприятия, заменим временно
$y = P(t) $,
$x = t$ ,
Это просто дело привычки, исторически, обычно все решают дифференциальные
уравнения с одной переменной, используя, $x,y,y'$ , где $y$
это функция от $x$, т.е. $y(x)$.
Потому, из-за привычки, так легче будет восприниматься. Ну а когда выведем
искомую функцию, $y(x)$, то мы обратно и заменим,
на $y = P(t)$, и $ x = t$,

Итак, имеем $x,y,y'$ , и константу $b$, (а после интегрирования появится ещё $C$),

$y' = 2,441807 \cdot e ^ {-0,03052221 \cdot x} + b \cdot y$ ,
$y' - b \cdot y - 2,441807 \cdot e ^ {-0,03052221 \cdot x} =0$ ,

это уравнение соответствует типу
$y' + q(x) \cdot y + r (x) = 0$, а значит это,
1) ОДУ, и линейное, и 1-го порядка, (должно иметь решение),
2) при этом, уравнение неоднородное линейное (сложнее чем однородные),

Продолжая,
Делаем замену переменных: $y = uv ; y' = u'v + uv' $,
получаем,
$u'v + uv' - b \cdot uv - 2,441807 \cdot e ^ {-0,03052221 \cdot x} =0$ ,

Выберем $v$ так, чтобы выполнялись условия:
1) $u(-b v + v')=0 $ ,
2) $ u'v - 2,441807 \cdot e ^ {-0,03052221 \cdot x} =0 $ ,

из первого равенства, один из множителей равен $0$, пусть $u$ и $v$ такие, что $0$ то что в скобках:
$(-b v + v')=0$ ,
Представим в виде:
$v' = b v$ ,
Преобразуем уравнение так, чтобы получить уравнение с разделяющимися переменными:
$v'(x) = b v(x)$ ,
$\dfrac{dv}{dx} =b v(x) $ ,

$\dfrac{dv}{v} =b \cdot dx $ ,
Интегрируем, получаем,
$\int\limits_{}^{} \dfrac{dv}{v} = b \cdot \int\limits_{}^{} dx $ ,
$\ln (v) = b \cdot x$ ,
$v = e ^ {b \cdot x}$ ,
Зная $v$ , находим $u$ из условия :
$ u'v - 2,441807 \cdot e ^ {-0,03052221 \cdot x} =0 $ ,
$ u' \cdot e ^ {b \cdot x} - 2,441807 \cdot e ^ {-0,03052221 \cdot x} =0 $ ,
$ u' = 2,441807 \cdot e ^ { (-0,03052221-b) \cdot x} $ ,
интегрируем,
$ u = \int\limits_{}^{} 2,441807 \cdot e ^ { (-0,03052221-b) \cdot x } \cdot dx $ ,
=
$\dfrac{2,441807}{(-0,03052221-b)} \cdot e ^ { (-0,03052221-b) \cdot x }$ ,
Из условия $y=uv$, получаем:
$y = (C + \dfrac{2,441807}{(-0,03052221-b)} \cdot e ^ { (-0,03052221-b) \cdot x }) \cdot e ^ {b \cdot x} $ ,

$y = C \cdot e ^ {bx} + \dfrac{2,441807}{(-0,03052221-b)} \cdot e ^ {-0,03052221x - bx + bx}$

общая главная функция-
$y = C \cdot e ^ {bx} + \dfrac{2,441807}{(-0,03052221-b)} \cdot e ^ {-0,03052221x}$ ,

Далее, из условия задачи, в момент времени $x = 0$, имеем $y = 20$,
а в момент времени $x = 3$, имеем $y = 22$ ,
нам это нужно чтобы найти константы $C$ и $b$ ,
Получим систему,

$22 = C \cdot e ^ {3b} + \dfrac{2,441807}{(-0,03052221-b)} \cdot e ^ {-0,03052221 \cdot 3}$,

$20 = C \cdot e ^ {0} + \dfrac{2,441807}{(-0,03052221-b)} \cdot e ^ {0}$ ,

пробуем упростить нижнее равенство,

$20 = C + \dfrac{2,441807}{(-0,03052221-b)} $ ,

$(20 - C) \cdot (-0,03052221-b) = 2,441807 $,
$-0,6104442 - 20 b + 0,03052221 C + Cb = 2,441807$ ,
$0,03052221 C + Cb = 20 b + 3,0522512$ ,
$ C (0,03052221 + b) = 20 b + 3,0522512$ ,

$ C = \dfrac{ (20 b + 3,0522512)}{(0,03052221 + b) } $,

вернёмся к другому равенству,

$22 = C \cdot e ^ {3b} + \dfrac{2,441807}{(-0,03052221-b)} \cdot e ^ {-0,03052221 \cdot 3}$,

$22 = C \cdot e ^ {3b} + \dfrac{2,22814877}{(-0,03052221-b)} $,

$22 = \dfrac{(C \cdot e ^ {3b}) \cdot (-0,03052221-b) + 2,22814877}{(-0,03052221-b)} $,

$22 (-0,03052221-b) = (C \cdot e ^ {3b}) \cdot (-0,03052221-b) + 2,22814877$ ,
$22 (0,03052221+b) = (C \cdot e ^ {3b}) \cdot (0,03052221+b) - 2,22814877$ ,

$0,67148862+ 22b = (C \cdot e ^ {3b}) \cdot (0,03052221+b) - 2,22814877$ ,
$22b = C \cdot e ^ {3b} \cdot (0,03052221+b) - 2,89963739$ ,

теперь подставим выше найденное выражение для $C$ через формулу для $b$,

$22b = \dfrac{ (20 b + 3,0522512)}{(0,03052221 + b) } \cdot e ^ {3b} \cdot (0,03052221+b) - 2,89963739$ ,
и единственный знаменатель, сокращается,
$22b = (20 b + 3,0522512) \cdot e ^ {3b} - 2,89963739$ ,

---------------------------
Вернёмся теперь, к нашим временным заменам, y, x, и заменим обратно,
получим, общую главную функцию,

$P(t) = C \cdot e ^ {b \cdot t} + \dfrac{2,441807}{(-0,03052221-b)} \cdot e ^ {-0,03052221 \cdot t}$ ,

но чтобы окончательно её выразить, нужно вычислить хотя бы приблизительно константы $C$ и $b$, которые
$22b = (20 b + 3,0522512) \cdot e ^ {3b} - 2,89963739$ ,
(как найти здесь b ?) а затем зная $b$, найти,

$ C = \dfrac{ (20 b + 3,0522512)}{(0,03052221 + b) } $,

[dgwuqtj]

Skipper в сообщении #1662063 писал(а):

как найти здесь b ?

Численно, как же ещё. К тому же вы всё остальное считали в десятичных дробях.

[Skipper]

dgwuqtj, спасибо!
------------------------------------
Итак, нужно вычислить хотя бы приблизительно константы $C$ и $b$.
Для $b$ уравнение такое-

$(20 b + 3,0522512) \cdot e ^ {3b} - 22b - 2,89963739 = 0$ ,

(как найти здесь $b$ ?).

Подобного не проходили даже в универе. Попробовал всякие онлайн-калькуляторы,
решения не расписывают, значит аналитического упрощения уравнения, видимо и нету.
Самое возможное, что удалось сделать, это найти "численный ответ", да и то выдаёт $2$ корня.
Приходится просто брать как есть, а если бы такого онлайн-сервиса не было бы,
как бы сам должен был бы находить этот численный ответ?

Итак, два корня приближенно,

$b = -0,07901608$ ,
$b = -0,03052267$ ,

проверим на калькуляторе, подставив и первый и второй корни - ответы правильные.

Используя формулу,
$ C = \dfrac{ (20 b + 3,0522512)}{(0,03052221 + b) } $,
находим, видим, что, вариант не подходит,
$b = -0,03052267$ ,
потому что $C$ не найдём- будет деление на $0$ ,
Значит остаётся единственно правильный вариант, по нему и находим C,
окончательно пара констант -

$b = -0,07901608$ ,
$C = -30.35293$ ,

$P(t) = C \cdot e ^ {b \cdot t} + \dfrac{2,441807}{(-0,03052221-b)} \cdot e ^ {-0,03052221 \cdot t}$ ,

$P(t) = C \cdot e ^ {-0,07901608 \cdot t} + 50,3529 \cdot e ^ {-0,03052221 \cdot t}$ ,
$P(t) = 50,3529 \cdot e ^ {-0,03052221 \cdot t} - 30.35293 \cdot e ^ {-0,07901608 \cdot t}$ ,

И подставив эти константы, получим, общую главную функцию,
$P(t)$ - ОБЩАЯ накопленная масса с учётом прироста/уменьшения плутония в момент времени $t$.
То есть сколько его вообще есть во всём ядерном топливе в любой момент времени,

$P(t) = 50,3529 \cdot e ^ {-0,03052221 \cdot t} - 30.35293 \cdot e ^ {-0,07901608 \cdot t}$ ,

проверим, в точке времени $t = 0$ , очевидно, ответ правильный,
$$P(0) = 50,3529 \cdot e ^ {0} - 30,35293 \cdot e ^ {0} = 50,3529 - 30,3529 = 20$ ,

в точке времени $t = 3$ (года), ответ должен быть примерно $22$ (тонны),

$P(3) = 50,3529 \cdot e ^ {-0,03052221 \cdot 3} - 30,35293 \cdot e ^ {-0,07901608 \cdot 3}$ ,
$P(3) = 50,3529 \cdot e ^ {-0,09156663} - 30,35293 \cdot e ^ {-0,23704824}$ ,
$P(3) = 50,3529 \cdot 0,9124999 - 30,35293 \cdot 0,788951 = 22.00004$ ,

тоже всё сходится, как по условию задачи выдала функция, (ЧУДЕСА какие то! неужели всё верно),
посчитаем ради интереса, сколько будет плутония в реакторе через $9$ и $10$ лет его работы,

точка времени $t = 9$ (лет),
$P(9) = 50,3529 \cdot e ^ {-0,03052221 \cdot 9} - 30,35293 \cdot e ^ {-0,07901608 \cdot 9}$,
$P(9) = 50,3529 \cdot e ^ {-0,27469989} - 30,35293 \cdot e ^ {-0,71114472}$,
$P(9) = 50,3529 \cdot 0,7597987 - 30,35293 \cdot 0,491079 = 23,3523$ ,

точка времени $t = 10$ (лет),
$P(10) = 50,3529 \cdot e ^ {-0,03052221 \cdot 10} - 30,35293 \cdot e ^ {-0,07901608 \cdot 10}$,
$P(10) = 50,3529 \cdot e ^ {-0,3052221} - 30,35293 \cdot e ^ {-0,7901608}$,
$P(10) = 50,3529 \cdot 0,7369581 - 30,35293 \cdot 0,453769 = 23,3347$ ,

Когда максимум плутония в реакторе пока не нашли, но видим, что его через 10 лет,
больше чем было через 3 года,

Итак, надо найти экстремум функции, скорости. Сначала найдём функцию скорости,

$V(t) = P'(t)$ где, уже доказано, наша функция
$P(t) = 50,3529 \cdot e ^ {-0,03052221 \cdot t} - 30,35293 \cdot e ^ {-0,07901608 \cdot t}$ ,

Найдем производную этой функции,
$V(t) = P'(t) = 2,398369 \cdot e^ {-0,07901608 \cdot t } - 1,5368817 \cdot e^ {-0,03052221 \cdot t}$ ,
теперь, нужно найти время $t$, с экстремумом, где эта функция имеет максимально значение,
так как это стационарная точка, то и производная в ней будет равна нулю, а значит
чтобы найти $t$ нужно решить это уравнение -

$2,398369 \cdot e^ {-0,07901608 \cdot t } - 1,5368817 \cdot e^ {-0,03052221 \cdot t} = 0$ ,

Подобного тоже не проходили даже в универе. Попробовал всякие онлайн-калькуляторы,
решения не расписывают, значит аналитического упрощения уравнения, видимо и нету.
Самое возможное, что удалось сделать, это найти "численный ответ",
$t = 9,177107$

Можно убедиться что производная функция равна нулю,
$2,398369 \cdot e^ {-0,07901608 \cdot 9,177107 } - 1,5368817 \cdot e^ {-0,03052221 \cdot 9,177107} = 0$ ,
$2,398369 \cdot e^ {-0,725139 } - 1,5368817 \cdot e^ {-0,2801055} = 0$ ,
$2,398369 \cdot 0,4842549 - 1,5368817 \cdot 0,7557025 = 0$ , должно быть,
$-0,0000034$ , реальный результат,

Почти нуль. Найден экстремум производной функции, в точке времени (в годах), :
$t = 9,177107$ ,

Можно ещё проверить по функции$ P(t)$ . Выше мы уже посчитали,
$P(9) = 23,3523$ ,
$P(10) = 23,3347$ ,
близки к экстремуму, значит абсолютный максимум P(9,177107) будет больше этих обоих значений:

точка времени $t = 9,177107$ (лет),
$P(9,177107) = 50,3529 \cdot e ^ {-0,03052221 \cdot 9,177107} - 30,35293 \cdot e ^ {-0,07901608 \cdot 9,177107}$,
$P(9,177107) = 50,3529 \cdot e ^ {-0,28010556} - 30,35293 \cdot e ^ {-0,725139}$,
$P(9,177107) = 50,3529 \cdot 0,7557025 - 30,35293 \cdot 0,4842549 = 23,3532$ ,

Интересно, сколько останется плутония, если реактор отработает 20 лет,

точка времени $t = 20$ (лет),
$P(20) = 50,3529 \cdot e ^ {-0,03052221 \cdot 20} - 30,35293 \cdot e ^ {-0,07901608 \cdot 20}$,
$P(20) = 50,3529 \cdot e ^ {-0,6104442} - 30,35293 \cdot e ^ {-1,5803216}$,
$P(20) = 50,3529 \cdot 0,543107 - 30,35293 \cdot 0,2059066 = 21,09714$ ,

Вот так, удивительно, достигнув в реакторе максимума в точке времени 9,177107 лет $=$ 23,3532 тонн,
достаточно долго держится на высоком уровне, и сильно не уменьшается масса плутония,
за 20 лет работы реактора, плутония в точке времени 20 лет $=$ 21,09714 тонн,
всё ещё больше, чем $20$ тонн, в самом начале (точка $0$).

-------------------------------------
Итак, мы нашли, точку экстремума, время $t$ когда в реакторе максимальная масса плутония,
$t = 9,177107$ (лет),

и важную функцию сколько плутония в реакторе в любой момент времени:
$P(t) = 50,3529 \cdot e ^ {-0,03052221 \cdot t} - 30.35293 \cdot e ^ {-0,07901608 \cdot t}$ ,

и важную функцию сколько урана в реакторе в любой момент времени:
$M(t) = e ^ {-0,03052221 \cdot (t - 143,5684218) } $ ,

Сколько плутония выше уже посчитал,
$P(9,177107) = 23,3532$ , тонн,

посчитаем, сколько в это время урана:
$M(9,177107) = e ^ {-0,03052221 \cdot (9,177107 - 143,5684218) } = 60,457905 $ , тонн,

отходов будет в этот момент,
$100 - 23,3532 - 60,457905 = 16,188895$ , тонн,

--------------------------------------------------------------------------------
Вернёмся к задаче, было изначально в $0$ момент,

$20$ тонн - плутоний-239-й,
$80$ тонн - уран-238-й.

через 3 года-

$22$ тонны - плутоний-239-й,
$73$ тонны - уран-238-й,
$5$ тонн- отходы от плутоний-239,

ответ на вопрос задачи- оптимальное время, масса плутония-239 максимальна-

через $9,177107$ лет-

$23,3532$ тонны - плутоний-239-й,
$60,4579$ тонны - уран-238-й,
$16,1888$ тонн- отходы от плутоний-239,

ЗАДАЧА РЕШЕНА.
--------------------------------------------------------------------------------

За 9 с небольшим лет можно накопить таким реактором лишних $3,3532$ тонны топлива,
Интересно, что будет через $30$ лет? Функции выше известны, выкладки проводить
не буду, сразу результат:

$17,3175$ тонны - плутоний-239-й,
$32,0206$ тонны - уран-238-й,
$50,6619$ тонн- отходы от плутоний-239,

как видим, за $30$ лет, в таком реакторе половина массы становятся отходами, плутония уже
меньше чем вначале, а т.к. именно он даёт мощность на реакторах АЭС БН, то мощность, всего
реактора, как видим, всё ещё более $80$% от стартовой,

Задача не то чтобы, сложная технически (тут нет дифур с частными производными, и т.п.,
но рутинных вычислений всё же много. Дай такую задачу на Олимпиаду по математике,
то можно и по времени не успеть)..

[B@R5uk]

Skipper, стоит ещё посмотреть как быстро будет приближаться масса плутония к максимальной. Очень даже возможно, что будет гораздо эффективнее извлечь продукты заметно раньше, чем в момент максимума, чтобы можно было загрузить новую порцию реагентов и получить заметно более высокий выход плутония в единицу времени (за десятилетие, например). Это будет происходить из-за того, что по мере приближения к максимуму гладкая функция (коей масса плутония как функция времени является) будет терять величину своей производной (то есть скорость нарастания желаемой массы будет падать), и в максимуме она обратится в ноль.

Вопрос, рационально ли это делать или нет, конечно, решается за пределами задачи, такими фактами как, например, стоимость техобслуживания загрузки/выгрузки, стоимость техобслуживания самого процесса реакции или даже фактом наличия нужных реагентов. Если поставить вопрос о том, как максимально дёшево производить плутоний, то ответ (почти наверняка) тоже даст время заметно более короткое, чем выгрузка в момент максимума. Просто потому, что нет смысла тратится на техобслуживание реакции, когда прирост почти остановился.

-- 13.12.2024, 09:55 --

Skipper в сообщении #1662097 писал(а):

Дай такую задачу на Олимпиаду по математике

Я бы не сказал. Простейшая пара диффуров уровня 1-2 курса физфика. Для старшеклассников, может и будет тяжеловато.

[Skipper]

B@R5uk в сообщении #1664835 писал(а):

Если поставить вопрос о том, как максимально дёшево производить плутоний, то ответ (почти наверняка) тоже даст время заметно более короткое, чем выгрузка в момент максимума. Просто потому, что нет смысла тратится на техобслуживание реакции, когда прирост почти остановился

Так-то да, оптимальнее скорее всего будет раньше делать выгрузку топлива.

Это задача немного с таким смыслом.. каким будет будущее человечества.
Я не верю в то, что удасться получиться внятный управляемый термоядерный синтез, из-за того что там температуры - сотни миллионов градусов. О том что этого удасться достичь, писали ещё в 1960-е, прошло 60 лет, а воз и ныне там.
Нефть-газ-уголь закончатся в текущем столетии, ГЭС обеспечивает энергией не более чем с какой то ограниченной мощностью, СЭС и ВЭС энергетически не самоокупаемы, если всю энергетику (а не только электроэнергетику) переводить на них. Вся энергетика человечества это более 25 тераватт.

А значит, в будущем, придётся для получения энергии строить много тысяч АЭС, и извлекать энергию из урана, или из урана превращая его в плутоний. Урана-235 который поддерживает цепную реакцию, всего 0,7 % в природе, а урана-238, в 140 раз больше (99,3%), но он не поддерживает цепную реакцию. Извлечь её- надо будет строить вот такие АЭС на быстрых нейтронах, и превращать его в плутоний-239 (и уже его сжигать в АЭС), только тогда этой атомной энергии хватит на многие тысячелетия.
Таково неизбежное будущее человечество , по моему прогнозу..

[pppppppo_98]

Skipper в сообщении #1662097 писал(а):

Для $b$ уравнение такое-

$(20 b + 3,0522512) \cdot e ^ {3b} - 22b - 2,89963739 = 0$ ,

(как найти здесь $b$ ?).

методом секущих например, или методом деления отрезка пополам, методом сжимающего отображения(я конечно Mathematica использовал, но их встроеннные функции не использовал, методом сжимающего отображения получил ответ за 8 итераций, используя взятой наобум x=0.1 и решая уравнение $x=\frac{1}{3} \ln{\frac{22 x + 2.89963739}{20 x + 3.0522512}}$)


. А что за универ вы заканчивали, в котором нет выч. матов на технической специальности?. Как-то странно составляют программу обучения инженеров в век повальной компьютеризации?

Имено из-за подобных уравнений нет никакого смысла подобную задачу выносить на олимпиаду. Решается она несложно, но вручную долго, а никаких креативных физических или математических идей при решении собственно и нет. Эту задачу должен решить первотокурсник базовым уровнем.

-- Пн дек 30, 2024 17:57:41 --

Skipper в сообщении #1667807 писал(а):

Так-то да, оптимальнее скорее всего будет раньше делать выгрузку топлива.

там друггие ньанесы на приактике вступают. Во первых накапливается не только плутоний-239, но и другие изотопы плутония, а также америций, кюрий, нептуний, уран-236 - работ с некотрыми из них сопряжена струдностями из-за высокой активности. Во вторых накапливаются продукты деления - некоторые из них бяка - нейтронные поглотители (при большом накоплении их надо выводить), появлются благородные газы (гелий, ксенон, криптон) - топливо может разбухать. Из-за наработки нового топлива - меняется профиль реактивности по реактору, для равномерного выгорания на БН (да и на водных реакторах тоже) делают регулярную перегрузку топлива - раз год , на ввэр теперь раз в полтора года

[pppppppo_98]

Уважаемый топикстартер. Если таки имеется внутренняя потребность узнать как решаются нелинейный уравнения, дифференциальные уравнения, берутся интегралы и прочяя, прочяя, прочяя - можно полистать вот эту книгу (меня по не учили, хотя есть и другие учебники по вычматам)

http://libgen.li/ads.php?md5=EB3071C83C ... FDBA8DB8D9

[B@R5uk]

Skipper в сообщении #1667807 писал(а):

...а воз и ныне там.

А вот и нет. Вот гляньте какие успехи люди делают: The US Fusion Ignition Breakthrough EXPLAINED и Inside The UKs Breakthrough Fusion Reactor.

Skipper в сообщении #1667807 писал(а):

...Извлечь её- надо будет строить вот такие АЭС на быстрых нейтронах, и превращать его в плутоний-239 (и уже его сжигать в АЭС)...

Не одним ураном живородящим, так сказать, живы. Вон, китайцы на тории ректор делают: It's Happening - China Launches World's First Thorium Nuclear Reactor, а эксперименты и в других странах идут.

Skipper в сообщении #1667807 писал(а):

А значит, в будущем, придётся для получения энергии строить много тысяч АЭС

Уже сейчас в своих пустынях китайцы строят гигантскую "зелёную" электростанцию на 455 ГВт: China’s MASSIVE Desert Project Is About To Change The World 60% от солнца и 40% ветряками. Мощность в 455 ГВт — это 4 трлн кВт∙час электроэнергии в год, если я на калькуляторе по кнопкам не промазал. Для сравнения, в России в 2023 было 1,14 триллиона произведено. Так что, не одним ураном живы, далеко не одним.

[sergey zhukov]

Skipper
Положим, мы рассматриваем процесс, в котором участвуют три вещества:

$$U, Pu, N$$

Где $N$– некоторый конечный продукт.
Предположим, что между ними возможны такие реакции (в скобках указана скорость реакции):

$$U\to Pu\ \ \ \ (K_1)$$

$$Pu\to N\ \ \ \ (K_2)$$

Эволюция системы записывается просто. Для каждого компонента слева пишем производную по времени, а справа – все, что ведет к его появлению – с плюсом, а все, что ведет к его исчезновению – с минусом (точка над символом как всегда означает производную по времени):

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \dot{U} &=& -K_1U\\ \dot{Pu} &=& K_1U-K_2Pu\\ \dot{N} &=& K_2Pu\\ \end{array} \right.$$

Методы решения таких систем уравнений хорошо известны. Если взять $K1=K2=1$ и $U(0)=0.8 Pu(0)=0.2$ и $N(0)=0$, то эволюция концентрации компонент во времени выглядит так:

Нетрудно посчитать и более длинную цепочку распада. Например, можно рассмотреть цепочку четырех превращений для пяти гипотетических компонент:

$$A\to B\ \ \ \ (K_1)$$

$$B\to C\ \ \ \ (K_2)$$

$$C\to D\ \ \ \ (K_3)$$

$$D\to E\ \ \ \ (K_4)$$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \dot{A} &=& -K_1A\\ \dot{B} &=& K_1A-K_2B\\ \dot{C} &=& K_2B-K3C\\ \dot{D} &=& K_3C-K_4D\\ \dot{E} &=& K_4D\\ \end{array} \right.$$

Можно вместо линейной цепочки рассматривать сеть реакций. Это, например, когда компонент $A$ распадается сразу на несколько нижележащих компонентов. Или реакция распада $A$ может происходить по разным каналам (с разной вероятностью). Например, можно рассмотреть такую систему реакций:

$$A\to B\ \ \ \ (K_1)$$

$$A\to C\ \ \ \ (K_2)$$

$$B\to C+E\ \ \ \ (K_3)$$

$$C\to D\ \ \ \ (K_4)$$

$$D\to E\ \ \ \ (K_5)$$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \dot{A} &=& -(K_1+K_2)A\\ \dot{B} &=& K_1A-K_3B\\ \dot{C} &=& K_2A+K_3B-K_4C\\ \dot{D} &=& K_4C-K_5D\\ \dot{E} &=& K_5D\\ \end{array} \right.$$

Здесь компонент $A$ распадается одновременно двумя разными способами, а компонент $B$ распадается сразу на два компонента:


Можно даже рассматривать обратимые реакции, т.е. когда из нижележащих элементов снова получаются вышележащие и т.д. Все рассмотренные реакции – первого порядка (распад одной частицы на какие-то продукты). Можно так же ввести сюда реакции второго порядка (реакция взаимодействия двух частиц, так происходит реакция ядер с нейтронами). Это приводит к добавлению в правую часть системы уравнений произведений концентраций, их квадратов и вообще система уравнений быстро разрастается.

Это, конечно, не модель ядерного реактора. Скорее, это модель процесса естественного распада по цепочке множества радиоактивных элементов, когда каждый атом распадается не от воздействия внешнего нейтрона, а спонтанно и независимо от внешних условий. Главным же параметром ядерного реактора является плотность нейтронного поля и спектр энергий нейтронов (благодаря наличию которых, собственно, и происходят все эти реакции превращения), а в этой модели нейтронов вообще нет.